変圧器の等価回路パラメーターの計算

変圧器は, 電気業界では偏在しています. 送電・配電, 重工業, 計測器, 電気自動車, 民生用電子機器など, あらゆる形態の変圧器はシステムの不可欠な要素となっています. 変圧器にはさまざまな種類があります. 電力変圧器は, ある電気システムから異なる電圧レベルの別の電気システムに力をシフトさせます. 計器用変圧器は, 電圧と電流の測定に使用されます. 絶縁変圧器は, 2つの回路間の信号をガルバニック絶縁で結合します. 高電圧変圧器は, kV 以上のオーダーの電圧を発生させるために使用されます. このように, 変圧器はさまざまな用途に使用されています. 変圧器の等価回路パラメーターは, その性能を決定するものであり, 設計・開発において極めて重要です.

先日のブログ““電磁気学シミュレーションからの電気回路の抽出””,では, あらゆる電磁気学モデルから等価RLCネットワークを抽出する方法をご説明しました (これは集中巻きの変圧器にも適用できます) . このブログ記事では, 1次コイルと2次コイルが複数のセクションで構成されている高周波フェライトコア変圧器の例を示し, 回路パラメーターと解析の概要をご説明します.

はじめに

変圧器の性能を決定する上で重要な役割を果たす様々な要因があります. 電力変圧器の等価インピーダンスは, 短絡または故障のレベルに影響します. 励磁インダクタンスは大型変圧器の突入電流を決定し, 漏れインダクタンスはパワーエレクトロニクス回路のスイッチング周波数の選択に決定的な役割を果たします. 寄生容量は, 高周波変圧器の動作において重要になります. 変圧器の動作は, 等価集中電気回路パラメーターによって大きく特徴付けられます. したがって, シミュレーションを使用して変圧器の等価回路パラメーターを抽出することは, 設計プロセスにおいて非常に重要なのです.

左: 変圧器のジオメトリモデル. 右: 変圧器の断面図 (“クリッピング”機能を使用).

COMSOL Multiphysics^®ソフトウェアは, 変圧器の物理モデルから集中回路パラメーターを簡単に計算するためのさまざまなインターフェースを搭載しています. 変圧器のインダクタンスは, “磁場” (mf) インターフェースまたは“電磁場” (mef) インターフェースを使用して評価することができます. 寄生容量は, “静電” (es) インターフェースまたは“電流” (ec) インターフェースを使用して求めることができます. “電気回路” (cir) インターフェースは, 変圧器コイルを外部の集中回路に接続するために使用することができます.

以下では，高周波フェライトコア変圧器の例を示して，等価インダクタンスと浮遊容量の値の計算方法をご説明します. この変圧器は, 2ターンの1次コイルと600ターンの2次コイルを備えています. 2次側は2分割されており, 間に絶縁隔壁があります. 1次電圧は10 V で, 周波数は数十 kHz です.

励磁インダクタンスと漏れインダクタンスの計算

変圧器の励磁インダクタンスは開回路試験で実験的に求められ, 漏れインダクタンスは短絡試験で計算されます. これらの試験を変圧器モデルのシミュレーションで実施することで, インダクタンス値を求めることができます.

開回路試験

この試験では, 変圧器の2次コイルを開回路にし, 1次コイルを定格入力電圧で励磁します. 2次側の負荷電流がない場合, 1次コイルが流す電流は主にコアの磁束を整えるために使われます. 1次側のインピーダンスは, 1次側の電圧と電流から計算されたならば, 比較的小さな値の1次コイル抵抗の他に, 大部分が励磁インダクタンスで構成されています.

開回路試験時に変圧器のコアに集中する磁束密度.

1次抵抗は, 1次コイルインピーダンスの実数部として76.5m\Omegaであることがわかります. 励磁インダクタンスは1次コイルインピーダンスの虚数部を用いて求められ, 50 kHz では44.8\mu Hになります.

短絡試験

従来は, 1次コイルを短絡し, 1次コイルに定格電流を流すのに十分な電圧に下げて2次コイルを励磁していました. この場合, 磁束のほとんどは1次コイルと2次コイルの間の空隙の領域に閉じ込められます. 2次コイルインピーダンスは, 端子電圧と電流値から計算できたら, 主に漏れインダクタンスで構成されています. 漏れインダクタンスは, 巻数比変換を利用して1次側を基準にすることができます. シミュレーションでは, 1次側を励磁して2次コイルを短絡させれば, 1次側の漏れインダクタンスを直接求めることができます.

短絡試験時に1次コイルと2次コイルの間に集中する磁束密度.

漏れインダクタンス値0.25 \mu Hは, 50 kHz での1次コイルインピーダンスの虚数部から求められます. コイル抵抗は19.2 m\Omegaです.

寄生容量の計算

変圧器は純粋な誘導性デバイスであると想定されています. しかし, 1次コイルと2次コイルは導電性材料でできており, その間に絶縁層があるため, 誘電媒体で隔てられた2つの導体の場合に例えることができます. このため, 容量効果が生じます. この容量は設計上意図されないものであるため, 寄生容量と呼ばれます. 低周波の変圧器では, 寄生容量は大きな役割を果たすことはありません. しかし, 周波数が高くなるにつれて, 容量効果は大きくなり, 高い巻数比では, 容量効果が支配的になってきます.

以前のブログ““静電容量行列の計算方法””で, “定常ソーススイープ”のスタディステップを使用して, 自己容量と相互容量を求める方法をご説明しました. 変圧器の巻線が集中している場合, この方法に従って静電容量行列を抽出することができます.

この例では，多くの高電圧フェライトコア変圧器で見られるように，1次コイルと2次コイルをいくつかのセクションに分割して配置しています. コイル内の電圧分布は, セクション間でのステップ変化を示しています. したがって, 前述の方法は, 静電容量行列を抽出するためには適用できません. この例では，1次自己容量を計算するために, 下部のセクションには電位の半分 (すなわち5 V) を, 上部には全電圧 (すなわち10V) を印加します. 2次コイルには接地電位を, コア全面には浮遊電位を印加します. 2次側の自己容量も同様に, 2次誘起電圧の半分を下部セクションに, 全電圧を上部に印加することで得られます.

1次自己容量の電位分布 (左) と2次自己容量の電位分布 (右) を比較したもの.

計算された1次自己容量は14 pF, 2次自己容量は30.5 pF です.

等価集中回路の解析

1次抵抗, 着磁漏れインダクタンス, 1次自己容量, 2次自己容量がわかったので, 変圧器の等価回路モデルを構築することができます.

変圧器の等価集中回路.

漏れインピーダンスは, R_lとL_lの直列組み合わせで表されます. 着磁インピーダンスは R_m = 2587.6 \OmegaとL_m = 44.7 \mu Hの等価並列組み合わせに変換されます. 1次自己容量と2次自己容量は, それぞれ C_pと C_sで表されます. R_eは, 2次側の開回路状態をモデル化するために追加された1 M \Omegaの外部抵抗です. 集中回路モデルのシミュレーションでは, 1次電流の先行角は82.2°, 2次誘起電圧は3192 V と予測されます. 注目すべきは, 2次誘起電圧が, 変圧器の巻数比を用いた場合に予想される値である値 (3000 V) よりも高いことです. これは, 1:300という高い巻数比に加え, 2次容量の影響によるものです. 1次電流自体は力率が高く, 変圧器が容量性電流を流していることを意味します.

誘導と容量効果を考慮した連成解析

変圧器の 2D 軸対称モデルは, “断面”機能を使って 3D モデルから作成されます. “電磁場”インターフェースで利用できる“RLC コイルグループ”機能を適用するために, 2次側の300個の個々のターンがジオメトリに追加で描かれています. 2次寄生容量の影響を観察するために, 2次側を開回路にする必要があります. しかし, 開回路にするためにコイル電流をゼロに指定すると, 2次自己容量には電流が流れなくなります. これを回避するために, “電気回路” インターフェースを使用して, 1 M\Omegaの抵抗を2次コイルに接続します. これは効果的に開回路と同じ働きをしますが, 2次自己容量に電流が流れることを可能にします.

磁束密度と電位分布.

変圧器の巻線領域における電位分布は, 半径方向外側に行くほど誘導電圧が大きくなることを示しています. このモデルから, 計算された1次電流の先行角度は75°で, 2次誘導電圧は3055.6 V であることがわかります. この結果は, 前節でご説明した等価回路モデルと一致しています.

集中回路 (3D モデルから得られたパラメーターを使用して導出) と 2D 軸対称モデルの等価性を確認するため, 2つの手法から得られた1次コイルのインピーダンスの周波数応答を同じグラフにプロットしました. 下図は, 1次コイルのインピーダンスの大きさと角度が, 励磁周波数によってどのように変化するかを示しています. 2D 軸対称の結果は, 集中回路解析で得られた結果を裏付けていることがわかります. 集中電気回路パラメーターは, 実際の 3D 変圧器ジオメトリから抽出されます. 変圧器の 2D 軸対称モデルは, 実際の変圧器ジオメトリを近似的に表現したものです. これらの違いにより, 2つの手法から得られる1次コイルインピーダンスの周波数応答には若干のずれが生じています.

電気回路モデルおよび2D軸対称モデルから得られた変圧器1次コイルの周波数応答.

“RLC コイルグループ”の用途について

このコイルモデリング機能は, 面内変位電流の影響を解析したい場合に使用します. つまり, 誘導効果とともに容量効果もモデル化することになります. ターンの接続は, “ドメイン順序”オプションを使用して指定することができます. 変圧器の場合, ターンの層は放射状に積み重なるため, 列方向の順序が選択されます.

変圧器の2次側の“ドメイン順序”オプション.

この例では, ドメインの順序付けに組み込みのオプションを使用しています. “3D インダクターの軸対称近似”モデルで示されているように, 手動で指定することも可能です.

最後に

今回の演習の主な目的は, 変圧器の等価回路パラメーターを抽出することでした. “電磁場”インターフェースを使用して, 着磁と漏れインダクタンスを抽出しました. 寄生1次容量と寄生2次容量は, “静電”インターフェースを使用して抽出しました.

“RLC コイルグループ”機能により, 誘導効果と容量効果の両方を取り入れた変圧器の 2D 軸対称モデルの解析が可能になりました. 等価集中回路と 2D 軸対称モデルのシミュレーションは, いくつかの特異な結果を示しました. 計算された2次電圧は, 巻数比から予想される値よりも大きくなっていました. これは, 軽負荷の送電線に見られる Ferranti 効果に似ており, 容量効果が支配的であるため, 受信側電圧が送信側電圧より高くなるのです. また, 変圧器の1次電流も容量性であることがわかりました. これは, 1：300という非常に高い巻数比で1次側を参照した場合に, 2次寄生容量が支配的になるためです.

インダクタンスとキャパシタンスは, 回路電流に対して互いに相反する影響を及ぼします. 誘導性回路には遅れ力率があり, 容量性回路には進み力率があります. このような変圧器の等価インピーダンスを端子電圧と電流から抽出しようとすると, 連成効果によって誤ったかつ誤解されやすい結果が生じることになるのです. 変圧器の 2D 軸対称モデルから観察されるように, 1次コイルに参照される2次寄生容量は, 結果として得られる1次コイルインピーダンスにおいて誘導効果よりも支配的であることがわかります. 50 kHz では, 変圧器は実質的にキャパシタンスと同じように動作します.

結論として, 変位電流を無視し, 伝導電流と誘導電流による磁場効果の解析を用いて, 変圧器の等価インダクタンスを個別に抽出する方法をここでご説明しました. これは, “磁場”または“電磁場”インターフェースを使用して行うことができます. 同様に, 変圧器の寄生容量も，電場のみの解析によって個別に求めることができます. これは, “静電”または“電流 “インターフェースを使用して行います. 最後に, 抽出された量を変圧器の単一の等価集中回路モデルに結合する方法をご紹介しました.

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