COMSOL Multiphysics^® によるマイクロマグネティックスシミュレーション

磁石の磁化のダイナミクスは, Landu–Lifshitz–Gilbert 方程式によって支配されるマイクロ磁気理論によって説明されます. COMSOL Multiphysics^® ソフトウェアのフィジックスビルダーを使用して, カスタマイズされたマイクロマグネティクスモジュールを構築しました. これを使って, COMSOL^® ソフトウェアのフレームワーク内でマイクロ磁気シミュレーションを実行することができます. このマイクロマグネティクスモジュールは, 他のアドオンモジュールと直接連成して, 磁気双極子結合, 磁気弾性結合, 磁石と熱結合などのマルチフィジックスマイクロ磁気シミュレーションを実行できます. モジュールパッケージはユーザーガイドとともにダウンロードできます.

マグノニクスとマイクロマグネティクスの紹介

マグノニクスは, スピントロニクスまたは磁性体物理のひとつの分野です (参考文献1). これは, 対応するフォノニクスやフォトニクスに似ていますが, 磁気系の基本励起であるスピン波 (または量子限界におけるマグノン) によって運ばれるエネルギーと情報の輸送に焦点を当てています. スピン波は, エネルギー, 線形運動量, 角運動量, および情報を運ぶことができます. YIG (Y₃Fe₅O₁₂) などの磁性絶縁体は, 減衰が非常に小さく, ジュール発熱がないため (参考文献2) は, スピン波操作に理想的な材料です. さらに, スピン波は磁壁, 渦, スキルミオンなどの磁気テクスチャー (参考文献3) と相互作用することができ, それによって磁気メモリを動作させるための新しいルートが提供されます. このため, マグノニクスは次世代の情報技術の有望な候補となっています.

このブログでは, マイクロマグネティックスモジュールを使用して, COMSOL Multiphysics^® でスピン波ダイナミクスの数値マイクロ磁気シミュレーションを実行する方法を説明します.

マイクロ磁気モデリング理論

磁性材料における磁気モーメントの力学は, Landau–Lifshitz–Gilbert (LLG) 方程式によって支配されます. マイクロ磁気モデリングの精神は, 1つまたは複数の単位セル内のすべての磁気モーメントを1つの半古典的マクロスピンとして扱うことです. これは, 次のように定義される単位ベクトル \textbf{m} で表されます.

ここで, \textbf{M}(\textbf{r}, t) は全磁化の時間空間分布関数であり, M_s は材料の飽和磁化です.

この単位モーメントベクトルの時間発展は, LLG 方程式 (参考文献4) に従います.

ここで, ドットは時間微分を示し, \gamma は磁気回転比, \alpha はギルバート減衰係数, H_{\rm{eff}} は局所モーメントに作用する有効場であり, 次のように定義されます.

最も単純なケース, つまり z 方向に沿って適用される静磁場内の1つのマクロスピンを想定してみましょう. 有効場は単純に H_{\rm{eff}}=H \hat{e}_z です. マクロスピンが平衡 z 方向からわずかに傾いている初期状態から出発して, マクロスピンベクトルは LLG 方程式に従って有効磁場の周りを右回りに歳差運動します. ギルバート減衰 (\alpha を持つ用語) が存在すると, 系の運動エネルギーは最終的に散逸し, マクロスピンはそのエネルギー最小値, すなわち有効磁場と一直線に並ぶまで緩和します. このような歳差運動は強磁性共鳴 (FMR) に関連しており, 角周波数は印加磁場の強さに線形に依存します.

スピン波は非局所的相互作用, 例えば連続体極限で次のような形をとる短距離交換相互作用を導入するときに現れる H_{\rm{eff}}=A \triangledown^2\textbf{m}, A は交換剛性係数です. 交換相互作用が存在すると, 1つのマクロスピンの歳差運動モードが隣接するマクロスピンに輸送され, スピン波などの角運動量電流が伝播します.

電磁波と弾性波は, ナノ構造設計によって閉じ込めたり操作したりすることができ, スピン波も同様です. さらに, スピン波は磁気テクスチャー, つまり磁化順序の不均一な分布によって操作できます. 一例として, 磁壁, つまり反対の磁化を持つ2つの磁区間の遷移領域が挙げられます. 磁壁がスピン波の伝導チャネルとして機能し, 再構成可能なスピン波回路の設計に使用できることが理論的にも実験的にも示されています.

マイクロ磁気シミュレーションは, 実験結果を説明するのに役立ちます. また, マイクロ磁気シミュレーションにより新たな現象を予測し, 実験によって検証する成功例も数多くあります.

フィジックスビルダーが開発したマイクロマグネティクスモジュール

人気のあるオープンソースのマイクロマグネティックシミュレーションのソフトウェアが2つあります: オブジェクト指向マイクロ磁気フレームワーク (OOMMF) と GPU で高速化された Mumax³ です.

COMSOL Multiphysics^® を用いたマイクロ磁気シミュレーションを推奨する理由は2つあります:

1. COMSOL Multiphysics^® は, 有限要素法に基づいている. つまり, OOMMF と Mumax³ で使用されるような有限差分法ではない. 有限要素法は, 複雑な形状や構造をモデリングする場合にさらに強力である.
2. マイクロマグネティックスモジュールは, COMSOL Multiphysics^® 内の豊富なフィジックスモジュールと直接連成できる. たとえば, AC/DC モジュール (電流と電磁場) と RF モジュール (マイクロ波) を組み合わせることで, 磁石内の双極子相互作用をモデル化が可能. カスタム構築モジュールを構造力学モジュールと組み合わせると, 磁気弾性効果をモデル化でき, 伝熱モジュールを使用して磁石の熱効果をモデル化が可能. このフレームワーク内では, カスタマイズされたフィジックスとアドオン製品の間のマルチフィジックスカップリングが容易.

COMSOL Multiphysics^® のマイクロマグネティックスモジュールの使用に興味があるユーザーは, コンパイルされたモジュールファイル Micromagnetics Module.jar をローカル COMSOL アーカイブにインストールできます. フィジックスを選択すると, 新しいフィジックスインターフェースマイクロマグネティクス (mm) が表示されます.

マイクロマグネティックスモジュール (V1.33) は, 以下に示すユーザーインターフェースを備えています.

マイクロマグネティックスモジュール (V1.33) には, 他のオープンソースソフトウェアが提供するほぼすべての機能が含まれています. これには以下が含まれますが, これらに限定されません:

• 基本的な Landau–Lifshitz–Gilbert 形式 (交換相互作用と一軸異方性を含む)
• 適切な境界条件を使用した Dzyaloshinskii–Moriya の相互作用 (バルク型と界面型の両方)
• 減衰項と場のような項の両方を含むスピントランスファートルク
• 任意の磁場およびトルク入力 (時間および空間に依存)
• 有限温度効果 (任意のランダムシードを使用)
• ピン留め境界条件と周期境界条件
• 1つの領域で複数の独立した LLG 方程式を解く機能 (複数の副格子を持つ合成反強磁性体など)
• 磁気双極子結合, 磁気弾性結合, 磁気電気結合, 磁気熱結合などのマルチフィジックスカップリングの機能

マイクロマグネティックスモジュールに基づいて, 私たちは多くの興味深いスピン波物理を実証し, スピン波ダイオード (参考資料5), スピン波ファイバー (参考文献6), スピン波偏光子およびリターダー (参考文献7–8), および磁気ロジックゲート (参考文献9) などのさまざまなスピン波デバイスを提案しました.

マイクロマグネティクスモジュールによるマルチフィジックスカップリング

上で述べたように, COMSOL Multiphysics^® の利点の1つは, アドオンモジュール間のマルチフィジックスカップリングの機能です. スピン波は, 磁場, 格子変形, 温度勾配などによって操作できます. スピン波と他の励起 (電磁波や弾性波など) の結合システムは, 両方の利点を組み合わせて豊かな物理を生み出し, 情報の生成と伝達を容易にすることができます. 次に, マイクロマグネティックスモジュールに基づいてどのようなマルチフィジックスカップリングを実行できるかを示します.

空洞マグノニクス (参考文献10) は, マグノニクスと空洞量子電気力学 (CQED) の学際的な分野です.
CQED の応用の一つは, 光子と物質の相互作用を操作することによって量子情報処理を実現することです. 空胴電磁気学の典型的な構成は, マイクロ波空胴の内部に磁石を配置したものです. 磁石は, キャビティ内の定常電磁波または伝播電磁波と結合します. このような系は, スピン流の操作と磁気モーメントの非線形力学を研究するための新しいオプションを提供します (参考文献11–12). 空洞マグノニック系は, マイクロマグネティックスモジュールと RF モジュールを連成することでシミュレートできます. 静磁場シミュレーションの場合, マイクロマグネティックスモジュールと AC/DC モジュール (磁場) 間の連成で十分です.

スピン力学には, 磁化と格子変形の間の相互作用が含まれます. 磁気弾性結合 (または磁歪) を持つ材料では, 磁化の空間的および時間的変化 (スピン波) が格子に力を及ぼし, 変形した格子 (弾性波) が磁化に反作用する場を生成します. たとえば, 以下のアニメーションが示すように, 磁化されたディスクは磁場によって励起され, 歳差運動する磁化によって基板に弾性波が放射されます. スピン力学的問題は, マイクロマグネティックスモジュールと固体力学モジュールを結合することでシミュレートできます.

電流による自己適応テクスチャー

金属磁石では, スピン偏極した電流が局所的な磁気モーメントにスピン伝達トルクを及ぼし, 電流駆動のテクスチャー運動を引き起こします. 磁性膜内の導電率は, 異方性磁気抵抗 (AMR) による局所的な磁化と電流の方向の相対的な向きに依存するため, 電流, トルク, およびテクスチャー間の相互作用は, マイクロマグネティクスモジュールと AC/DC モジュールを使用してモデル化できます (電流).

下のアニメーションが示すように, 2つの電極に印加される電圧は, スピントランスファー トルクを介して磁気テクスチャー (上) を変更します. その結果, 局所的な導電率と電流密度分布 (下) がそれに応じて変化します. 磁気テクスチャーは最終的に安定した構成に適応し, 2つの電極間のコンダクタンスが増加します. このような正のフィードバック動作をニューロモルフィックコンピューティングに使用できることが提案されています (参考文献13).

マイクロマグネティクスモジュールへのアクセス方法

マイクロマグネティックスモジュールのファイルは, 以下の方法で自由に配布しています:

1. Fudan 大学の Jiang Xiao 教授のウェブサイト
2. COMSOL アプリケーションエクスチェンジ

ダウンロードしたパッケージには, モジュールインストールファイルと, インストール手順と例が記載されたユーザーガイドが含まれています. ユーザーからのご提案, ご報告, ご連絡に感謝いたします. 将来のバージョンでは, より多くの機能が積極的に更新される予定です.

謝辞

Fudan 大学 Jiang Xiao 教授の指導と Fudan 大学ナノ電子デバイス, 量子コンピューティング研究所の支援に謝意を表します.

著者について

Weichao Yu 博士は, 中国の Tongji 大学物理科学, 工学部で応用物理学の理学士号を取得し, 中国の Fudan 大学で理論物理学の博士号を取得しました. 彼は Fudan 大学で博士研究員として, また東北大学金属材料研究所で助教授として勤務しました. 彼は現在, Fudan 大学ナノ電子デバイスおよび量子コンピューティング研究所の研究員です. Yu 博士の研究対象には, 磁気テクスチャーやスピン波のダイナミクス, 磁気システムとスピンキャビトロニクスやキャビティスピントロニクス (マグノンと光子の結合) やスピン力学などの他の複合物理システムとの結合など, スピントロニクスと磁気の基本現象に関する理論研究が含まれます. (スピン波と弾性波の結合). 新しいタイプのスピントロニクスデバイスや, 磁気システムに基づくロジックインメモリコンピューティングや自己学習機能を備えたニューロモルフィックコンピューティングなどの型破りなコンピューティングの新しい概念を提案および設計しています. 彼はまた, 他のマルチフィジックスシステムとの双方向結合機能を備えた有限要素法に基づくマイクロ磁気シミュレーションモジュールを開発し, 基本的な磁気の研究と新しいスピントロニクスデバイスの設計を促進しました.

参考文献

1. A. Barman et al., The 2021 Magnonics Roadmap, J. Phys.: Condens. Matter, vol. 33, no. 413001, 2021.
2. A. V. Chumak et al., Magnon Spintronics, Nature Physics, vol. 11, no. 453, 2015.
3. H. Yu, J. Xiao, and H. Schultheiss, Magnetic Texture Based Magnonics, Physics Reports, vol. 905, no. 1, 2021.
4. V. G. Bar’yakhtar and B. A. Ivanov, The Landau-Lifshitz Equation: 80 Years of History, Advances, and Prospects, Low Temperature Physics, vol. 41, no. 663, 2015.
5. J. Lan, W. Yu, R. Wu, and J. Xiao, Spin-Wave Diode, Phys. Rev. X, vol. 5, no. 041049, 2015.
6. W. Yu, J. Lan, R. Wu, and J. Xiao, Magnetic Snell’s Law and Spin-Wave Fiber with Dzyaloshinskii-Moriya Interaction, Phys. Rev. B, vol. 94, no. 140410, 2016.
7. J. Lan, W. Yu, and J. Xiao, Antiferromagnetic Domain Wall as Spin Wave Polarizer and Retarder, Nature Communications, vol. 8, no. 178, 2017.
8. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Polarization-Selective Spin Wave Driven Domain-Wall Motion in Antiferromagnets, Phys. Rev. B, vol. 98, no. 144422, 2018.
9. W. Yu, J. Lan, and J. Xiao, Magnetic Logic Gate Based on Polarized Spin Waves, Phys. Rev. Applied, vol. 13, no. 024055, 2020.
10. B. Z. Rameshti, S. V. Kusminskiy, J. A. Haigh, K. Usami, D. Lachance-Quirion, Y. Nakamura, C.-M. Hu, H. X. Tang, G. E. W. Bauer, and Y. M. Blanter, Cavity Magnonics, ArXiv:2106.09312 [Cond-Mat], 2021.
11. W. Yu, J. Wang, H. Y. Yuan, and J. Xiao, Prediction of Attractive Level Crossing via a Dissipative Mode, Phys. Rev. Lett., vol. 123, no. 227201, 2019.
12. W. Yu, T. Yu, and G. E. W. Bauer, Circulating Cavity Magnon Polaritons, Phys. Rev. B, vol. 102, no. 064416, 2020.
13. W. Yu, J. Xiao, and G. E. W. Bauer, A Hopfield Neural Network in Magnetic Films with Natural Learning, ArXiv:2101.03016 [Cond-Mat], 2021.