管状反応器アプリケーションは, 学生が非理想的な管状反応器をモデル化できるツールです. 温度と組成の半径方向と軸方向の変化を含め, さまざまな動作条件の影響を解析できます. また, 教師が学生の想像力を刺激する問題に合わせてカスタマイズされたインターフェースを構築する方法も示しています. このモデルと演習は, もともと Scott Fogler の著書 Elements of Chemical Reaction Engineering で説明されています. 学生時代にこのようなツールを利用できればよかったのにと思います.
アプリで数学モデリングの概念の指導と学習が簡素化
偏微分方程式に初めて出会った工学部の微積分学の授業を今でも覚えています. 先生は, ダイビング中に自分の体を切った場合にサメが水中の血を見つけるのにかかる距離と時間で 拡散 を例証しようと努力しましたが, コースの残りの部分はほとんど定理に隠れてしまいました. 比較的単純な問題に対して, 存在と一意性を証明できる定理や, 変数分離や等角写像などの手法です.
数学理論と解決手法とは別に, 数学モデルを理解するために本当に必要だったのは, モデル方程式の解を研究し, さまざまな仮定と条件でこれを調査することだったと, 今では理解しています.
COMSOL Multiphysics® ソフトウェアバージョン 5.0 の ジャケット付き管状反応器アプリケーション を使用すると, 学生は非理想的な管状反応器の数学的モデルから対応する数値モデルの解に直接進むことができます. このモデルは, 化学反応工学の学部および大学院のコースで最も人気のある本の1つである Scott Fogler の書籍 Elements of Chemical Reaction Engineering の演習から取られています.
図1. 管状反応器アプリケーションのユーザーインターフェースと, 考えられるワークフロー (手順1～5).
学生にとっての価値
数学モデルは, 軸対称座標系で記述されたエネルギーバランスと物質バランスで構成されます. 学生は, 反応の活性化エネルギー, 熱伝導率, および反応器内の反応熱を変更できます (上の図のステップ2を参照). 結果として得られる解は, 反応器内の軸方向および半径方向の変換と温度プロファイルを示します. 一部のデータでは, シミュレーションの結果が明確ではないため, モデル結果の解釈も問題解決の演習になります.
教師にとっての価値
管状反応器アプリは, アプリケーションビルダーで教師がアクセスできます. 教師は, アプリケーションのユーザーインターフェースにモデルとアプリケーションのドキュメントを含める方法を調べることができます. また, 学生が各シミュレーションからレポートを生成できるようにするユーザーインターフェースコマンドを含める方法も学習できます. さらに, アプリケーションビルダーでアクセスするアプリケーションでは, アプリケーションのユーザーインターフェースにメニューバー, リボン, リボンタブ, フォームコレクション, およびフォームを作成する方法と, これらのユーザーインターフェースコンポーネントを基礎となる埋め込みモデルの設定と結果にリンクする方法も示されます.
管状反応器アプリケーション
管状反応器問題の演習のさまざまなステップは, Windows® オペレーティングシステムのリボン, または Linux® オペレーティングシステムと Mac OS のアプリケーションのユーザーインターフェースのメインツールバーに反映されます.
当然, 最初のステップはドキュメントを読むことです (上の図1のステップ1を参照). 次に, ステップ2で, 学生は活性化エネルギーと反応熱, および反応器の熱伝導率を変更できます.
3番目のステップは, モデル方程式の解を計算することです (ステップ3). これにより, 4つの異なるプロットで解を分析できます (ステップ4). 2つのサーフェスプロットは, 反応器内の反応物の温度と変換を示し, 2つのカットラインプロットは, 3つの異なる z 位置に配置された3つの異なる線に沿って反応器内の反応物の温度と変換を示します (例については, ページの下の図3を参照). 4つの異なるプロットは, いわゆる フォームコレクション のそれぞれのタブの下にあります.
最後のステップは, モデルとシミュレーションの結果を文書化するレポート (ステップ5) を生成することです. この場合, 出力は Microsoft® Word® 形式ですが, HTML レポートを生成することもできます.
教師にとって, アプリケーションビルダーツリーとアプリケーションビルダーのメンバーフォームプレビューは, アプリの構造を明らかにします (下の図2を参照). メインウィンドウノード (下のスクリーンショットの1と表示) には, ファイルメニュー (2) とリボン (3) を説明する子ノードが含まれています. Linux® オペレーティングシステムでは, リボンはツール バーとして表示されます. また, メインフォームへの参照も含まれています. この場合, フォームノード (4) には5つのフォームが含まれています. 1つはメインフォームを説明するフォームで, 4つはグラフィックスフォームコレクションのさまざまなメンバーを説明するフォームです. これらの4つのグラフィックスフォームメンバーは, 上記の4つのプロットに対応しています.
図2. アプリケーションビルダーユーザーインターフェース. 左側にアプリケーションビルダーツリー, 右側に含まれるフォームのプレビューが表示されます. その間には, 選択したフォーム, 宣言, メソッド, ライブラリ, またはモデルノードごとに設定ウィンドウがあります.
活性化エネルギー, 熱伝導率, 反応熱 (5) のテキスト入力ウィジェットは, 埋め込みモデルの対応するパラメータにリンクされています. 値の範囲も制限されており, 不正入力を許可しない安全な入力範囲を提供します.
宣言ノード (6) には, 埋め込みモデルで定義されていない変数の宣言が含まれています. たとえば, ユーザーの選択に基づいてアプリが実行されたときにユーザーインターフェースにメッセージを表示する文字列変数を宣言できます. この例では, シミュレーション結果が更新されたかどうかを示す文字列変数が作成されます (つまり, 学生がモデル方程式を再解決せずに活性化エネルギーを変更すると, グラフィックスウィンドウに表示される文字列変数は “*更新されていません” に設定されます).
アプリケーションにはさらに, モデル説明書の読み込み, シミュレーションの結果の計算, レポートの生成に対応する一連のメソッド (7) が含まれています. これらのメソッドは, リボンまたはメインメニューの対応するメニューにリンクされています. メソッドはグラフィカルに生成されますが, メソッドエディターを使用して手動で編集して, 柔軟性を高めることができます.
ライブラリノード (8) には, アプリケーションに埋め込まれたファイルが含まれています. この例では, 対応するリボンメニューにリンクされたアプリケーションのドキュメントを含む PDF ファイルがあります.
管状反応器モデル
モデルで説明されているプロセスは, プロピレンオキシドと水が発熱反応してプロピレングリコールを形成するプロセスです. この反応は, 爆発を避けるために冷却ジャケットを備えた管状反応器で行われます (以下の “モデル結果” セクションの図を参照).
反応は液相で, 溶媒の存在下で行われます. したがって, 反応器溶液の密度は, 組成と温度の変化にかかわらず, 無視できる程度に変化するものと想定されます. これらの想定の下では, 反応器の半径に沿って完全に発達した速度プロファイルを定義することができます.
モデル方程式は, 物質とエネルギーの保存を記述します. 従属変数は, 反応器内の濃度 c と温度 T です. 物質方程式とエネルギー方程式は, 2つの独立変数, つまり半径方向の変数 r と軸方向の変数 z に沿って定義されます. これらの方程式は, r と z に沿った2つの結合偏微分方程式 (PDE) のシステムを形成します.
境界条件は, 反応器の流入口での濃度と温度を定義します. 流出口では, 物質とエネルギーの外向きのフラックスは移流によって支配され, それに応じて記述されます. 反応器の壁では, 熱流束は反応器と冷却ジャケットの温度差に比例します.
(1)
\nabla \cdot \left( { – D\nabla c} \right) + \nabla c \cdot {\bf{u}} + {k_f}c = 0\\
c = {c_0}\quad \text{流入口において};\quad \left( {\left( { – D\nabla c} \right) + c{\bf{u}}} \right) \cdot {\bf{n}} = c{\bf{u}} \cdot {\bf{n}}\quad \text{流出口において}\\
\\
\nabla \cdot \left( { – k\nabla T} \right) + \rho {C_p}\nabla T \cdot {\bf{u}} + {k_f}c\Delta H = 0\\
T = {T_0}\quad \text{流入口において};\quad \left( {\left( { – k\nabla T} \right) + \rho {C_p}T\,{\bf{u}}} \right) \cdot {\bf{n}} = \rho {C_p}T\,{\bf{u}} \cdot {\bf{n}}\quad \text{流出口において}\\
– k\nabla T \cdot {\bf{n}} = {s_a}h\left( {{T_j} – T} \right)\quad \text{反応器の壁}
\end{array}\]
モデル結果
シミュレーションの結果は非常に興味深いものです. たとえば, 放射状のカットラインに沿った変換プロファイルには, 以下の図3に示すように, 最小値と最大値が表示されます. Fogler の書籍では, 学生の課題の1つにこれらのプロファイルを説明することが挙げられます.
ここでは, プロファイルが発熱反応, 移流項, ジャケットからの冷却の組み合わせによって説明されることが示されています.
反応器の中央では, 反応物が反応する前に反応器の奥深くまで到達するため, 流速が大きいため変換率が低下します. これは, 図3の1で示されています.
図3. さまざまな軸方向の位置 (入口, 半軸方向の位置, 出口) での, 半径方向に沿った反応器内の変換のカットラインプロット.
壁に近づくと, ジャケット壁から離れたところではまだ温度が比較的高いため, 流量が減少し, 変換が増加します. これにより, 反応速度も高くなります (2).
ただし, 壁にさらに近づくと, ジャケットの冷却により変換が減少し始め, 上の図の反応速度が低下します (3).
反応器の壁では, 冷却が非常に効率的であるため, 変換はさらに減少するはずです. ただし, 壁では反応物の移流がないため, 変換はわずかに増加します. 言い換えると, 壁で流量がゼロであるため (4), 壁を移動する体積要素の空間時間は非常に長くなります. そのため, 反応物はより多く消費されます.
教育におけるアプリケーション
管状反応器の例では, モデル (アプリケーション) に基づいて専用のユーザーインターフェースを作成する方法を示します. このインターフェースでは, 学生が反応器の物理的な説明と, この説明が反応器の動作に与える影響を直感的に結び付けることができます. この演習の重要な要素は, 結果が明白ではないことです. 結果の解釈には, ある程度の思考が必要です.
アプリケーションビルダーは, 教師がアプリケーションインターフェースをグラフィカルに作成するための使いやすいツールを提供します. これにより, 教師は, 従来の方法でソフトウェアツールやプログラミングインターフェースを説明することに時間を費やすのではなく, 演習自体に集中できます. 教師は, 思考を刺激するシミュレーション結果の生成に集中できます.
学生は, シミュレーションソフトウェアを実行する技術的な詳細ではなく, 問題に焦点を当てた, より挑戦的で楽しい演習を受けることができます.
次のステップ
- 興味がありますか? アプリケーションビルダーの詳細については, 5.0 リリースハイライトページをご覧ください.
- 管状反応器ジャケットアプリ をダウンロードしてください.
Microsoft および Windows は, 米国およびその他の国における Microsoft Corporation の登録商標または商標です.
Linux は Linus Torvalds の登録商標です.
Mac OS は, 米国およびその他の国における Apple Inc. の商標です.
コメント (0)