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半導体デバイスシミュレーションのための密度勾配理論入門

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Chien Liu 著
2019年 11月 27日

半導体技術が進歩し, 対象デバイスのサイズがますます小さくなるにつれて, 量子閉じ込めの効果はますます重要になってきています. 密度勾配理論は, 半導体デバイスの物理シミュレーションによく使われる従来のドリフト拡散定式化に量子閉じ込めを含める計算効率の高い方法を提供します. 2部構成のブログシリーズの最初のブログでは, 半導体モジュールに実装されている方程式を中心に, この理論を簡単に説明します. ご興味のある方は, 包括的な説明として文献1を参照してください.

静電気と電荷キャリア保存

まず, 従来のドリフト拡散理論と密度勾配 (DG) 理論に共通する基本方程式を復習します. 次のセクションでは, 両者の違いについて説明します.

半導体デバイスの物理シミュレーションは, 電場 (ドリフト) とキャリア濃度勾配(拡散)によって駆動される電荷キャリアの輸送に関係します. 電場の\mathbf{E} (V/m)は, 準静的仮定の下での次の静電方程式によって与えられます.

(1)

\nabla \cdot (\epsilon \mathbf{E})=\rho \qquad \mathbf{E}= – \nabla V

 
ここで, \epsilonは誘電率 (F/m), \rhoは電荷密度 (C/m3), Vは電位 (V)です.

電荷密度 \rhoは, それぞれホール, 電子, イオン化したドナーおよびアクセプターの濃度(1/m3) (~pとnおよび~N_d^{+}とN_a^{-}からの寄与で決まります).

(2)

\rho=q(p-n+N_d^{+}-N_a^{-})

 
ここでqは素電荷 (C) です.

電子とホールの濃度(n と ~p) は, 電流連続方程式の形で与えられる次の保存則によって支配されます.

(3)

\frac{\partial n}{\partial t}&=&\frac{-\nabla\cdot\mathbf{J}_n}{-q}-Re_n+Ge_n
\frac{\partial p}{\partial t}&=&\frac{-\nabla\cdot\mathbf{J}_p}{+q}-Re_p+Ge_p

 

ここで, tは時間 (s), \mathbf{J}_nと \mathbf{J}_pは電子とホールの電流密度(A/m2), Re_n, Ge_n, Re_p, Ge_pは電子とホールの再結合率と発生率(1/m3/s)です.

電子とホールの電流密度 \mathbf{J}_nと\mathbf{J}_pは, 擬フェルミ準位 E_{fn}と E_{fp} (V) で表すことができます.

(4)

\mathbf{J}_n &=& q~n~\mu_n \nabla E_{fn} + q~n ((E_c-E_{fn})\mu_n + Q_n) \nabla T /T \\
\mathbf{J}_p &=& -q~p~\mu_p \nabla E_{fp} – q~p ((E_v-E_{fp})\mu_p + Q_p) \nabla T /T

 

ここで, \mu_n と \mu_pは電子とホールの移動度(m2/V/s), E_c と E_vは伝導帯と価電子帯の端 (V), Q_n と Q_pは熱拡散係数(m2/s)に対する電子とホールの非平衡寄与, Tは温度 (K) です.

伝導帯端 E_cと価電子帯端 E_vは, 電位V, 電子親和力 \chi, バンドギャップE_gに関連しています.

(5)

E_c = -V-\chi \qquad E_v = E_c – E_g

 

半導体モジュールの実装では, すべてのエネルギー準位変数(E_{fn},~E_{fp},~E_c,~E_v,~\chi,~E_g)は, 素電荷によってスケーリングされ, 電位 (V) の単位になることに注意してください.

ドリフト拡散とDG理論の状態方程式

従来のドリフト拡散理論もDG理論も, 上記の静電法則と電流保存則に従います. 両者の違いは, 電子ガスとホールガスの状態方程式にあります.

ドリフト拡散理論では, 電荷キャリア濃度 n と ~pは, 以下の方程式を介して擬フェルミ準位 E_{fn} と E_{fp}に関連しています.

(6)

n&=&N_c F_{1/2}(\frac{E_{fn}-E_c}{k_B T/q})\\
p&=&N_v F_{1/2}(\frac{-E_{fp}+E_v}{k_B T/q})

 

ここで, N_c と N_vは伝導帯と価電子帯の有効状態密度 (1/m3), F_{1/2}はフェルミ・ディラック積分, k_Bはボルツマン定数 (J/K) です.

一方, DG理論では, 量子ポテンシャル V^{DG}_n と V^{DG}_p (V) を介して, 濃度勾配の寄与を状態方程式に追加します.

(7)

n&=&N_c F_{1/2}(\frac{E_{fn}-E_c+V^{DG}_n}{k_B T/q})\\
p&=&N_v F_{1/2}(\frac{-E_{fp}+E_v+V^{DG}_p}{k_B T/q})

 

ここで量子ポテンシャルV^{DG}_n と V^{DG}_pは密度勾配によって定義されます.

(8)

\nabla \cdot \left( \mathbf{b}_n \nabla \sqrt{n} \right) &\equiv& \frac{\sqrt{n}}{2} V^{DG}_n\\
\nabla \cdot \left( \mathbf{b}_p \nabla \sqrt{p} \right) &\equiv& \frac{\sqrt{p}}{2} V^{DG}_p

 

DG係数 \mathbf{b}_n と \mathbf{b}_p (V m2) は, DG有効質量テンソル\mathbf{m}_n と\mathbf{m}_p (kg) の逆数によって与えられます.

(9)

\mathbf{b}_n &=&\frac{\hbar^2}{12 q} \left[\mathbf{m}_n\right]^{-1}\\
\mathbf{b}_p &=&\frac{\hbar^2}{12 q} \left[\mathbf{m}_p\right]^{-1}

 

ここで, \hbarはプランク定数です.

求解戦略

従来のドリフト拡散定式化では, 状態方程式(6)を基本方程式(1)~(5)に明示的に挿入し, 3つの従属変数V, E_{fn}, E_{fp}について解くことが可能です.

DG定式化では, 状態方程式 (7)~(8)が電荷キャリア濃度に関する陰関係を形成します. この状況では, 陰関数を解くために新しい従属変数を導入する必要があります. 文献1に従い, Slotboom変数 \phi_n と \phi_p (V)を追加の従属変数として使用します.

(10)

n&\equiv& exp(\frac{\phi_n}{k_B T/q})\\
p&\equiv& exp(\frac{\phi_p}{k_B T/q})

 

量子ポテンシャルは, Slotboom変数で次のように表すことができます.

(11)

V^{DG}_n &=& + E_c – E_{fn} + k_B T/q \left[ log(F_{1/2})\right]^{-1} \left( \frac{\phi_n}{k_B T/q} – log(N_c) \right)\\
V^{DG}_p &=& -E_v + E_{fp} + k_B T/q \left[ log(F_{1/2})\right]^{-1} \left( \frac{\phi_p}{k_B T/q} – log(N_v) \right)

 

ここで \left[ log(F_{1/2})\right]^{-1}は log(F_{1/2}(\cdot))の逆関数です.

そしてDG定式化では, 基本方程式 (1)~(5)と状態方程式 (7)~(11)を用いて, 5つの従属変数, V, E_{fn}, E_{fp}, \phi_n, \phi_pを解きます. このアプローチでは, 他のより洗練された量子力学的手法と比較して, 過度の計算負担がかからないことは明らかです. 従って, DG理論は工学的な目的のために効率的な代替手段を提供します.

再結合率

DG理論ではキャリア濃度の勾配が状態方程式に組み込まれるため, 平衡濃度はもはや平衡フェルミ準位の関数だけではなくなり, 再結合率はより複雑な評価が必要になります(文献2).

陽解法捕獲の場合, 電子とホールの再結合率r_e と r_h (1/m3/s)は擬フェルミ準位差に基づく式で計算されます.

(12)

r_e &=& n~C_n~N_t (1-f_t) (1-e^{\frac{E_{ft}-E_{fn}}{k_B T/q}})\\
r_h &=& p~C_p~N_t~f_t (1-e^{\frac{E_{fp}-E_{ft}}{k_B T/q}})

 

ここで, C_nとC_pは電荷キャリア(m3/s)の平均捕獲確率, N_tは捕獲密度, f_t は捕獲占有率 (1), そしてE_{ft}は捕獲の擬フェルミ準位 (V) です.

捕獲占有率はフェルミ・ディラック統計で与えられます.

(13)

f_t = \frac{1}{1+\frac{1}{g_D}~e^{\frac{E_t-E_{ft}}{k_B T/q}}} \qquad \mbox{or equivalently} \qquad \frac{1-f_t}{f_t} = \frac{1}
{g_D}~e^{\frac{E_t-E_{ft}}{k_B T/q}}

 

ここで g_Dは縮退係数 (1), E_tは捕獲エネルギー準位 (V) です.

直接, Auger, そして Shockley–Read–Hall (SRH) 再結合については, 式は見慣れたものに見えるかもしれませんが, 複数のパラメーターの基本的な定義はより複雑です. 例えば, SRHの再結合率 R_n と R_p (1/m3/s) は以下のようになります.

(14)

R_n=R_p=\frac{n~p-n_{eq}^{DG}~p_{eq}^{DG}}{\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p1)}

 

ここで \tau_n と \tau_pは電子とホールの寿命です.

電子とホールの平衡濃度n_{eq}^{DG} と p_{eq}^{DG} (1/m3)は次のようになります.

(15)

n_{eq}^{DG} &\equiv& N_c F_{1/2}(\frac{V_{eq,adj}-E_c+V_n^{DG}}{k_B T/q})\\
p_{eq}^{DG} &\equiv& N_v F_{1/2}(\frac{-V_{eq,adj}+E_v+V_p^{DG}}{k_B T/q})

 

ここで V_{eq,adj}は平衡フェルミ準位 (V) です.

式の中に量子ポテンシャル V^{DG}_n と V^{DG}_pが含まれることに注目してください.

パラメーター n_1 と p_1 (1/m3)は, 単純な場合であってももはや定数ではなく, 元の定義を使って計算されます.

(16)

n_1 &\equiv& n~e^{\frac{E_{t}-E_{fn}}{k_B T/q}}\\
p_1 &\equiv& p~e^{\frac{E_{fp}-E_{t}}{k_B T/q}}

 

暗黙的に濃度勾配に依存するキャリア濃度concentrations n と pへの依存性に注意してください.

Slotboom変数の境界条件

ほとんどの場合, Slotboom変数\phi_n と \phi_pの境界条件は単純な自然境界条件です (文献3).

(17)

\mathbf{n} \cdot (\mathbf{b}_n \nabla \sqrt{n}) = 0 \qquad \mathbf{n} \cdot (\mathbf{b}_p \nabla \sqrt{p}) = 0

 

急峻なポテンシャル障壁 (例えば, シリコンと酸化物界面) を表す境界の場合, Jinらは 文献4で, 境界条件を得るためにWentzel-Kramers-Brillouin (WKB) 近似を使うことを提案しています.

(18)

\mathbf{n} \cdot (\mathbf{b}_n \nabla \sqrt{n}) = -\frac{b_{n,ox}}{d_n}\sqrt{n}

 

ここで, b_{n,ox}は酸化物中の b_{n}係数(V m2), d_nは酸化物中への浸透深さ (m) であり, 次のように表されます.

(19)

b_{n,ox}=\frac{\hbar^2}{12~q~m_{n,ox}^\star} \qquad d_n = \frac{\hbar}{\sqrt{2~q~m_{n,ox} \Phi_{n,ox}}}

 

ここでm_{n,ox}^\starと m_{n,ox}は酸化物中の有効質量 (kg), \Phi_{n,ox}はポテンシャル障壁の高さ (V) です.

ヘテロ接合の場合のオプション

現在, 従来のドリフト拡散方式では, 半導体モジュールはヘテロ接合の場合のために2つのオプションを提供しています. 連続擬フェルミ準位と熱電子放出です.

前者はDG定式化に簡単に拡張できます. 擬フェルミ準位とSlotboom変数をヘテロ接合全体で連続にするだけで, これはラグランジュ形状関数では自動的に行われます. これは, 量子力学的波動関数の連続的性質を模倣したものですが, せいぜい現象論として扱われるべきです (文献1).

後者のオプションでは, 熱電子放出プロセスが支配的であると仮定し, 擬フェルミ準位とSlotboom変数がヘテロ接合全体で不連続であることを許容します. ドリフト拡散理論と同じ式が熱電子電流密度に使用され, 同様の結果が得られます.

最後に

上記の説明では, 半導体モジュールで利用可能な DG の定式化の概要を示しています. 実装されているのはDG閉じ込め理論のみであり, DGトンネル理論は実装されていないことを強調しておきます (文献 1). この実装は, 工学目的のデバイス物理シミュレーションに量子閉じ込めの効果を含めるための計算効率の高いオプションを提供します. 次のブログでは, 3つのモデル例を用いて, このシミュレーションアプローチの有用性を実証します.

参考文献

  1. M.G. Ancona, “Density-gradient theory: a macroscopic approach to quantum confinement and tunneling in semiconductor devices,” Journal of Computational Electronics, vol. 10, p. 65, 2011.
  2. M.G. Ancona, Z. Yu, R.W. Dutton, P.J. Vande Voorde, M. Cao, and D. Vook, “Density-Gradient Analysis of MOS Tunneling,” IEEE Transactions On Electron Devices, p. 2310, Vol. 47, No. 12, December 2000.
  3. M.G. Ancona, D. Yergeau, Z. Yu, and B.A. Biegel, “On Ohmic Boundary Conditions for Density-Gradient Theory”, Journal of Computational Electronics 1: 103–107, 2002.
  4. S. Jin, Y.J. Park, and H.S. Min, “Simulation of Quantum Effects in the Nano-scale Semiconductor Device,” Journal of Semiconductor Technology and Science, vol. 4, no. 1, p. 32, 2004.

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