想像してみてください: 赤いアリの鎖が黄色い輪の表面を這い回っています. アリは両面上にあるように見えますが, ループは実際には片面です. 見たことがありますか? これは, オランダ人アーティスト, Maurits Cornelis (M.C.) Escher による有名な木版画メビウスの輪 II で取り上げられたデザインです. 作品名の通り, アリが這っている物体をメビウスの輪と呼びます. 1858年に発見されて以来, この珍しい物体は数学者や芸術家を驚かせてきました. このブログでは, メビウスの輪の起源, 簡単に作成する方法, およびその多くの実用的な用途について説明します.
2人の数学者の物語: メビウスの輪の発見
August Möbius
August Ferdinand Möbius は, 1790年11月17日にザクセン州 (ドイツ) のシュルプフォルタで生まれ, 数学への初期の関心を示しました. 彼は13歳までホームスクーリングを受け, その後シュルプフォルタ大学に通い, 1809年に卒業しました. 教育を続け, ライプツィヒ大学に通い, そこで数学, 天文学, 物理学を学びました. Mollweide の三角関係と Mollweide 図法の発見で知られている彼の天文学の教師, Karl Mollweide は, 彼に最大の影響を与えた人物でした.
August Ferdinand Möbius の肖像. 画像は. Wikimedia Commons を通して公知.
1813年から1814年にかけて, メビウスはゲッティンゲン大学に通い, 史上最も影響力のある数学者の1人である Carl Friedrich Gauss の下で天文学を学びました. ゲッティンゲン大学に通った後, メビウスはハレ大学のガウスの教師 Johann Pfaff のもとで数学を学びました.
1816年, メビウスはライプツィヒ大学に戻り, 天文学と高等力学の教授になりました. 1818年から1821年まで, 彼は大学の天文台の建設を監督し, 1848年には所長になりました.
メビウスは生涯を通じて, 天文学に関するいくつかの重要な著作を発表しました. 例えば次のような著作があります:
- Concerning the Calculation of the Occultations of the Planets (1815)
- The Principles of Astronomy (1836)
- The Elements of Celestial Mechanics (1843)
彼はまた, 射影幾何学とアフィン幾何学を扱った Calculus of Centres of Gravity (1827) など, 数学の分野で有名なテキストを出版しました. Textbook on Statics (1837) では, 静力学の幾何学的処理について説明しています.
メビウスの名前は, 数論におけるメビウス関数, メビウス平面, メビウス変換など, さまざまな数学的概念で生き続けています. しかし, 彼が1858 年に行った発見が最もよく知られています. 死後に科学アカデミーに提出された回顧録の中で, メビウスはメビウスの輪, 一つの境界だけをもつ片面の輪の発見について論じていました. 彼は 多面体 (平面, 直線エッジ, および鋭い頂点で構成される立体) を扱っているときにそれを発見しました. メビウスバンドとしても知られるメビウスの輪は, トポロジの分野の発展に貢献しました.
Johann Benedict Listing
メビウスの輪は August Möbius にちなんで名付けられましたが, このユニークな表面はドイツの数学者 Johann Benedict Listing によって同時かつ独立に発見されました.
リスティングは, 1808年7月25日にドイツのフランクフルトで生まれました. メビウスと同様に, リスティングは数学に対する強い理解を持って育ち, ゲッティンゲン大学に通い, 偉大な数学者ガウスに師事しました. ガウスの教えを通じて, リスティングはトポロジのアイデアに興味を持ち, 生涯を通じていくつかの論文を発表しました. 実際, リスティングの1847年の本 Introductory Studies in Topology は, トポロジという用語の最初に公開された用法としてよく引用されます.
Johann Benedict Listing. 画像は Wikimedia Commons を通して公知.
リスティングは, メビウスの輪の発見を1858年のノートに最初に記録しました. その後, 1861年にメビウスの輪とその特性に関する記述を発表しました.
今日では, メビウスとリスティングが独立してこの輪wを発見したという説が広く受け入れられていますが, 実際にはそれを見つけたのは Gauss であり, 輪のアイデアをメビウスとリスティングの両方に伝えたのは彼でした.
メビウスの輪の簡単な可視化
メビウスの輪を作るに M. C. Escher になる必要はありません. 長方形の紙, ホッチキス (またはある種の接着剤), 筆記用具, はさみを使って簡単に作成できます. 試してみるとうまくいきました:
このビデオでメビウスの輪の作成方法をご覧ください. メビウスの輪を半分に切ると, メビウスの輪ではなく 円柱と相似になります.
メビウスの輪はあらゆるところに
機械や工具からロゴやシンボルに至るまで, 私たちは日常的に多くの片面に遭遇する可能性があります. メビウスの輪のいくつかの一般的な (そしてあまり一般的ではない) 使用法を見てみましょう…
ツールと装置
コンベヤーベルトはかつてメビウスの輪として製造されていました. これにより, ベルトの表面全体が同じ量の使用を受けることができるため, ベルトの寿命が長くなりました. ただし, メビウスの帯のコンベヤーベルトは, 今日ではあまり一般的ではありません. さまざまな素材を組み合わせることで, より耐久性のある無撚ベルトを作ることができるからです.
メビウス抵抗に流れる電流の図. Ilmari Karonen による画像. 画像は Wikimedia Commons を通して公知.
1960年代, メビウスの輪は無誘導電気抵抗器の設計に使用されました. このデザインの特許は, Sandia Laboratoriesの Richard L. Davis によって出願されました. そこで彼は次のように述べています. 「この発明は, メビウス面の形の絶縁された抵抗材料を利用することを企図しており, 電気リードは, 抵抗材料に対して正反対に互いに取り付けられており, 無誘導抵抗器として使用されています」. この種の無誘導抵抗器は安価に製造でき, 残留インダクタンスも相互インダクタンスも持たず, 高周波では無反応です.
他の実用的なメビウスの輪の応用:
- 連続ループ録音テープ
- タイプライターリボン
- コンピュータープリントカートリッジ
芸術
そのユニークで人目を引く外観のおかげで, 多くのアーティストがメビウスの輪を作品のインスピレーションとして使用しています. 絵画, アニメーション, 彫刻などに見られます. スイスのアーティスト Max Bill は, 芸術においてメビウスの輪を使ったパイオニアとして知られています. 彼の1935年の花崗岩の彫刻 Endless Ribbon は, メビウスの輪を生かした彼の最も人気のある作品の1つです. Bill が最初にメビウスの輪を作品に取り入れ始めたとき, 彼は自分がそれの創始者だと思っていました. しかし, 彼はすぐに, メビウスの輪が何十年にもわたって名前が付けられていたことを知りました. 彼は, 彼の将来の作品のための数学のインスピレーションを見つけ続けました.
以下に, 1986年にメビウス自身によりデザインされ, ing. Hans Kalkhoven によって完成されたメビウスの輪を見ることができます. この彫刻は Eindhoven University of Technology で見ることができます.
August Möbius によりデザインされ, ing. Hans Kalkhoven により完成されたメビウスの輪. 画像は Alex P. Kok による. Wikimedia Commons を通して, CC BY-SA 4.0 によるライセンス供与.
さらに最近になって2021年の夏, 芸術家 Mark Du Suvero による4トンもの彫刻, Mamma Mobius がカリフォルニア州 San Luis Obispo Museum of Art に設置されました. その名前が示すように, この彫刻はメビウスの輪に敬意を表しています.
ここで説明する3つの例は, メビウスの輪が芸術の世界に登場する多くの方法のほんの一部です.
自然
この岩層に見覚えがありますか? そのアーチはメビウスの輪の形をしているため, メビウスアーチと呼ばれています. この主要な観光名所は, カリフォルニア州インヨー郡にあります. よく見ると, その窓がホイットニー山を囲んでいるのがわかります!
メビウスアーチ. 画像は Wikimedia Commons を通して米国で公知.
この片面オブジェクトの目撃は, 自然の中で終わるわけではありません. それは建築, ジュエリー, ロゴ, およびユニバーサルリサイクルシンボルなどのシンボルにも見られます.
メビウスの輪のモデリングの2つの例
ガスメーターは, 住宅, 商業, および工業用建物のパイプラインを介して供給される燃料ガスの量を測定します. インドの家庭用ガスメーターのリーディングプロバイダーである Raychem RPG は, メビウスバンド型のローターを備えたタービンメーターを開発しました. このタイプのガスメーターでは, タービンの回転によってガス流量が測定され, ガス量はメビウスの輪を通過するガスの速度によって決まります.
Raychem チームは, マルチフィジックスシミュレーションを使用して, 設計のパフォーマンスを解析しました:
Raychem RPG のメビウスバンド流量計で, 流れるガスの速度プロファイルを示す2つの異なる角度.
別の例: 2021年の春, 英国の研究者らが, メビウスストリップ共振器をどのように設計し, シミュレーションを使用して, そのレーダー断面積 (RCS), 散乱断面積 (SCS), 吸収断面積 (ACS), および角度応答を解析したかを共有しました. 彼らはその知見を科学報告書で発表しました.
おわりに
メビウスの輪とは異なり, このブログはこれで終わりです. ここでは, この片面体の歴史, いくつかの簡単な手順に従って作成する方法, およびこのオブジェクトが私たちの周りの世界に存在するさまざまな方法について説明しました.
参考文献
- 以下の文献でメビウスの輪をもっと学びましょう:
- メビウスの輪, トポロジから生まれた数学を COMSOL ブログでもっと読んでみましょう:
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