モード解析は, 複雑な導波路構造におけるモード特性を調べることができるため, 高周波や波動光学の計算には欠かせないツールです. このブログでは, モード解析の紹介と, COMSOLマルチフィジックス®ソフトウェアでこの種の解析を行うために必要なフィジックスインターフェース, スタディステップ, およびポスト処理設定についてまとめています. 次に, ピュアモード解析のいくつかの例を紹介します. 最後に, 複雑なRFおよび光導波路システムのさらなる計算のために結果を使用する方法について説明します.
目次
モード解析とは？
任意の3次元導波管構造を解析する場合, ある周波数でどの種類の電磁波が伝播するのかを理解することが重要です. これらの波動領域は, 導波路の2次元横断面において励起され得る共振モードによって決定されます. このようなモードは, 大域的な複素数値の伝搬定数と電界の3成分すべての空間分布(モード形状)によって完全に記述することができます. 一定の断面を持つ導波管における伝送レジームは, これらの電磁気的特性に基づいて完全に定義することができます. また, この情報は, より複雑な構造における散乱特性の周波数領域での研究にも利用することができます.
よく知られた解析は, 同軸線路や断面が矩形または円形の中空導波路など, 一部のRF設計についてのみ文献に掲載されています. 任意の形状と材料の組み合わせによるその他の構成の場合 (すべての典型的な光ファイバーと統合された導波路を含む), 数値モード解析を使用する必要があります. 図1は, 設定方法ウィンドウの方程式セクションにある 数値モード解析の定式化を示しています. モード解析を実行するには, 与えられた周波数を電場のヘルムホルツ方程式に代入し, 面外方向に進む波の形で解を探す必要があります. そのために, 有限要素法 (FEM)と固有値ソルバーを使用できます.
注: モード解析と, より一般的なモード解析を混同しないように注意してください. 後者は固有振動数解析と呼ばれ, 2D, 2D 軸対称, および3Dを含む任意の次元のシステムで共振モードまたは固有振動数と固有振動数を見つけるために使用できます.
COMSOLマルチフィジックスのアドオンであるRFモジュールまたは波動光学モジュールで2Dまたは2D軸対称ジオメトリとモード解析スタディ用の電磁波(周波数領域)フィジックスインターフェース機能を使用してモード解析を実行できます.
図1: COMSOL®による光導波路のモード解析. このようなスタディの定式化は, 電磁波 (周波数領域)フィジックスインターフェースの設定ウィンドウの方程式セクションに表示されます.
モード解析のためのモデルの設定方法
ジオメトリと材料の設定
モード解析用のモデルを設定するときは, まず導波路構造の横断面を作成する必要があります. 2Dで直接作成することも, マルチフィジックス”>断面操作を使用して3Dモデルを縮小することもできます.
次に, 材料特性を指定して, ジオメトリの対応する部分に割り当てます. 高周波モデルの場合, 通常, 電気伝導率, 比誘電率, および比透磁率が必要になります. 波動光学モデルの場合, 通常は屈折率が必要です. COMSOL® は, 材料データをある表現から別の表現に自動的に変換します.
導電率, 比誘電率, 屈折率が複素数でない場合, モデルに減衰が生じますが, これはポスト処理で観察することができます.
フィジックス設定
目標は, 面外方向に伝搬する波を見つけることです. 2Dで電磁波 (周波数領域)フィジックスインターフェースを使用して行うには, フィジックスインターフェースの設定ウィンドウを開き, 3成分ベクトルオプションがコンポーネントセクションで選択されています.
モード解析は固有値解析であるため, ソース条件を使用する必要はありません. しかし, 境界条件はモード形状やモード減衰, リークに影響を与えるので, 適切な境界条件を定義する必要があります. 外部境界線は, メタライズまたはオープンであることに注意してください. 金属境界で作業する場合は, デフォルトの完全電気伝導体またはインピーダンス境界条件を使用することができます. 開いた境界を記述するために,散乱境界条件またはPMLを使用できます..
散乱境界条件とPMLのデフォルト設定は, 電磁波が境界に向かって法線方向に移動する状況でうまく機能します. 注目する波動ベクトルは, 境界の接線方向に向けられた伝搬定数と, 残りの法線成分で構成されるため, このようなデフォルト設定はモード解析に最適とは言えません. PML機能の有効波長の設定を手動で微調整するか,設定ウィンドウのモード解析セクションの散乱境界条件の物質波数から伝搬定数を差し引くチェックボックスを有効にするとよいでしょう. これを行う方法の詳細な手順については, 微細構造光ファイバーのリーキーモードチュートリアルモデルのPDFドキュメントを参照してください.
図2. COMSOL®による同軸ケーブルのモード解析. インピーダンス境界条件を使用すると, 伝搬定数と減衰定数の両方を計算できます.
インピーダンス境界条件, 散乱境界条件, またはPML機能を使用すると, モデルにダンピングが導入されます.
メッシュとスタディの設定
電磁気問題のモード解析スタディ設定の変形を下の図3に示します. デフォルトでは, 有効モードインデックス変換が選択されています. これは通常, 電磁波に最適な選択です. このような変換では, いわゆるモードの有効インデックス (または有効屈折率)は, モードの宣言特性として使用されます.
モード解析周波数フィールドに, 共振モードを検出する周波数を入力する必要があります. 以下に示すように, リストされている次のスタディ設定はモード検索方法です. ここで手動検索を選択した場合, 周辺モード検索フィールドにモードの有効インデックスで初期推測を設定し, 希望モード数検索でその推測に近いモードを検索し, 可能なら異なるモードの予想数を返すとよいでしょう. 領域検索では, おおよそのモード数と複素有効インデックスの領域を指定する必要があります.
計算を成功させるために, どのように良い初期推定をするのか疑問に思うかもしれません. これはケースバイケースですが, コアとクラッドで構成される典型的な導波路構造を扱う場合, 推奨される基礎があります: このような状況では, 対象のモードは2つの材料の屈折率の中間の有効モードインデックスを持ち, 基本モードが最も高いインデックスを持ちます. 従って, フィールド周辺のモードの探索において, 初期推測値をコアの屈折率付近に設定することで, ソルバーが基本モードを見つけることが保証さ れます. 言い換えれば, 典型的な導波路構造の基本モードの有効インデックスは, モードエネルギーが閉じ込められるドメインの屈折率に近いということです.
パラメトリックスイープを追加し, 定義済みのパラメーター(幾何学的サイズ, 材料特性, 周波数など) を選択できます. 指定された範囲でその値を変更します. その結果, 分散曲線と呼ばれるものが得られます. さまざまなモードのカットオフ条件を定義することもできます.
図3.モード解析およびパラメトリックスイープスタディステップの設定. 展開されたソルバー構成セクションで, 固有値ソルバーがスタディに使用されていることを確認できます.
ここではメッシュ設定をスキップして最初にスタディ設定を選択しましたが, モード解析周波数フィールドに入力された頻度値は, フィジックス制御メッシュの生成にも使用されることに注意してください. デフォルトでは, ソフトウェアは各材料の波長ごとに5つの要素を使用します. より良い解像度を得るために, それを改良することができます. 2Dモデルの場合, このような改良によって顕著なメモリ消費が発生することはありません.
ポスト処理と結果の解釈
モード解析スタディを実行した後に得られる典型的な結果について説明しましょう.
計算されたモードごとに, ローカル場またはパワー流れ分布をプロットできます. x, y, またはz 成分またはノルム値を式として選択できます. これにより, フィールドプロファイルと偏光を簡単に定義できます. また, 伝播定数, 減衰定数, 有効モードインデックスなど, 各モードの固有値 ラムダ に基づくいくつかのグローバル変数もあります. グローバル評価機能または1D グローバルプロットを使用して, 正確な値を取得できます. 使用可能な変数の名前と定義を次の表にまとめます:
| 名称 | 表現 | 概要 | ユニット |
|---|---|---|---|
beta |
imag(-lambda) |
伝搬定数 | rad/m |
dampz |
real(-lambda) |
減衰定数 | rad/m |
dampzdB |
20*log10-(exp(1))*dampz |
対数スケールでの減衰量 | dB/m |
neff |
j*lambda/k0 |
有効モードインデックス | 1 |
TEM (または準TEM) モードの場合, 電流と電圧の積分によって特性インピーダンスを手動で計算できます. 詳細は, RF解析での数値ポートの使用に関する以前のブログで説明されています.
通常, モード解析のポスト処理は簡単ですが, 以下のようなケースで結果の正しい解釈について疑問が生じることがよくあります:
- モード解析は固有値の解析なので, 正確な場の振幅はむしろ任意で, 相対的な割合だけが重要です. ポスト処理で, 各モードに対して追加の正規化を行うことができます.
- 異なる2つのモードの固有値が非常に近い場合, 計算後にそれらの任意の線形結合を得ることができます.
- 計算モードは, 直交する解の集合を有効モードインデックスでソートしたものに過ぎません. ソフトウェアはモードの正確な物理タイプを検出できないため, たとえば, 最初のモードが TE11 で 6 番目のモードがTM20であることを”認識”しません. これは, フィールド分布を手動で分析して, モードの物理的なタイプを自分で特定する必要があることを意味します.
- モードの並べ替えはパラメトリックスイープの各パラメーター値に対して行われるので, あるパラメーターから別のパラメーターに移動する間にモードの順序を入れ替えることができます. このため, 分散曲線は線の集合ではなく点の集合としてプロットすることができます.
- モードによっては物理的でないものもありますが, フィールドプロファイルから特定することができます. このような場合, 分布が非常にギザギザしている場合や, 外部境界付近で最大値を持つことがあります.
- モードにおいて, 伝搬定数が非常に小さく (ゼロに近い), 有効インデックスが小さいことがあります. このようなモードは, 非伝搬性またはエバネッセントと定義することができます. 関連する制御パラメーター (例えば周波数）を介してスイープを実行すれば, そのようなモードのカットオフ条件を追跡することができます.
- 有効モードインデックスは複素数値をとることができます. モードがエバネッセントである場合と, 系に減衰源がある場合の2つの主な状況で, 大きな虚数部を得ることができます. 減衰は, 材料特性, 有限の導電率を持つ金属化, または開いた境界によって導入することができます.
モード解析のチュートリアルモデル例
ここでは, COMSOL®でモード解析を行うための2つの異なる方法を示すいくつかのモデルを, 拡張設定とポスト処理で見てみましょう. 以下に, それらの設定に関する詳細な情報を示します.
これらのモデルを自分で作ってみたいという方は, こちらからダウンロードできます: “電磁波導波路のモード解析”.
例1: 同軸ケーブルのモード解析
RFの例から始めて, 典型的な同軸ケーブルのモードを計算してみましょう. 観測中のケーブルの内径はr_i=0.5mmです. 外径, r_o=3.43mm; 絶縁体の比誘電率, eps_r=2.4; 銅製の導体部品.
私たちの目標は, 10から20GHzの周波数範囲で, メインのTEMモードと最初の高次 TE11モードの特性を定義することです.
モデルの設定は非常に簡単です. まず, 金属部品のない形状を定義します. 次に, 2D領域の汎用材料である 絶縁体を追加します. 次に, 電磁波 (周波数領域)インターフェースで, 外部境界にインピーダンス境界条件を設定し, 組み込みの銅材料を割り当てます. モード解析スタディステップでは, モード解析周波数がf0に,求解モード数 が2に設定されています. およびsqrt(eps_r)で周囲のモードを検索します. また, パラメーターとして f0を使用してパラメトリックスイープを追加し, 0.2MHzの小さなステップで周波数範囲を入力します.
モード解析では, 周波数ごとに2つの解を得ることができます. 空間分布とグローバル変数を介してそれらを調べることができます. 2つの解のうち, sqrt(eps_r) ≒ 1.55の値に最も近い有効インデックスを持つものがTEMモードです. この周波数範囲では, 単調に増加する伝搬定数と1 dB/m未満の小さな減衰があります. インデックスが小さい別の解は, TE11モードです. その有効屈折率と伝搬定数はどちらも, 周波数範囲の最初では非常に小さいです. 対照的に減衰定数は非常に高いです. これらの要因はすべて, このモードが周波数範囲の開始点において非伝搬であることを示しています.
図 4. 同軸ケーブルのいくつかのモードの空間分布. ここでは, 10 GHz (左上) と20 GHz (右上) のTEMモードと, 10 GHzのTE11モード (左下)と20 GHz (右下). 表面プロットはパワー流れの Z成分, 赤い流線は電場, 青い流線は磁場です. 注釈は, 伝搬定数と減衰定数を強調するために使用されます. 10 GHzの TE11 モードの有効インデックスは非常に小さいことに注意してください. これは, エバネッセント領域のインデックスです.
カットオフ周波数を定義するには, emw.betaとemw.dampzdB のグローバル1Dプロットを作成し, f0を式として使用します. x軸データ. 15.6 GHz付近で発生するTE11曲線の急激なジャンプは, カットオフ条件の適切な推定値です.
図 5. TEMモードとTE11モードの周波数の関数としての伝搬定数と減衰定数.
TEMモードでは, 特性インピーダンスも評価できます. TE11モードの特性インピーダンスとカットオフ周波数の値は, COMSOL®での数値モード解析の優れた検証要素です.
例2: リブ導波路のモード解析
波動光学の例を続けて, 典型的な集積導波路のモードを計算してみましょう. 観察中のリブ導波路は, シリコンで作られたコア, SiONで作られた上部クラッド, およびSiO2で作られた下部クラッドを備えています. これらの材料の屈折率は, それぞれn_core = 3.48, n_clad_upper = 1.51, および n_clad_lower = 1.44です. 私たちの目標は, 特定の波長, lda0 = 1.55 um, で可能なすべてのモードを定義することです. 固定コアの高さには h_core = 700 nmを, コア幅のさまざまな値については, w_coreを設定します.
前の例と同様に, この場合のモデルの設定も簡単です. まず, コア, 上部クラッド, 下部クラッドの3つのドメインを含むジオメトリを定義します. 次に, それらを光学特性を持つ材料に割り当てます (前の段落で説明したように). 次に, 電磁波 (周波数領域)インターフェースで, 外部境界に散乱境界条件を設定し, 材料波数から伝搬定数を差し引くチェックボックスを有効にします. モード解析スタディステップでは, モード解析周波数の設定はf0= c_const/lda0です. 必要なモード数は10, 周囲のモードを検索するため屈折率は n_coreです. また, パラメーターとして w_coreを使用してパラメトリックスイープを追加し, 300 nmから1000 nmまで変化させます.
モード解析では, 各周波数に対して10個の解が得られ, 空間分布やグローバル変数で調べることができます. 矢印や流線を使って, 各モードの偏光を可視化し, そのタイプをEyMNもしくはExMNとして定義することができます.上付きは支配的な偏光方向を示し, 第1および第2下付き変数はそれぞれx およびy方向のピークの数を示します. w_coreパラメーターの値が大きい場合には, Ey22 やEy31などの高次モードも観測できます.
図6. リブ導波路のいくつかのモードの空間分布. 上の行では, コア幅 400 nm の Ey11 モード (左) と Ex11コア幅 400 nmのモード (右), 下の行では E x11コア幅 1000 nm のモード (左) と Ey21 コア幅 1000 nmのモード (右). 表面プロットはパワー流れの Z成分用で, 黒い矢印は電場を表します. 注釈は, 有効モードインデックスと伝搬定数を強調するために使用されます.
また, ewfd.neffをw_core*ewfd.k0としたグローバルな1次元プロットをx軸データの式とすることで, 典型的な分散曲線を得ることができます. このプロットを用いると, リブ導波路の非常に複雑な挙動を追跡することができます. 例えば, 異なるモードの “スワップ” が起こる正確なポイントを定義することができます. 例として, Ey11 および Ex11 (およそ w_core*ewfd.k0 = 2), Ey21および Ex21 (およそ w_core*ewfd.k0 = 3.5) など.
図7. リブ導波路の分散曲線. 例えば, w_core*ewfd.k0 = 2 付近でEy11 と Ex11の, w_core*ewfd.k0 = 3.5 付近で, Ey21 と Ex21 の間のシフトがあるなど, 多くのモード “スワップ” が見られます.
コア幅が小さい場合, クラッドの屈折率以下の有効インデックスを持つモードもいくつか得られていることに注意してください. それらの空間分布は, エネルギーがコアの内側と周囲に閉じ込められていないことを示しています. このようなモードは物理的でないとして無視するか, 解の削除 のスタディ機能を使って取り除くことができます.
その他の利用可能な例
上記の2つのモデルとは別に, アプリケーションギャラリから以下の例を探すことをお勧めします:
周波数領域導波管計算における伝搬モードの励起または終端化
伝搬モードが見つかったら, 周波数領域解析の際に導波管断面内で1つまたはいくつかの伝搬モードを励起または終端させたい場合があります. これによって, 複雑な電磁デバイスにおける反射特性や透過特性を計算することができます. RFモジュールや波動光学モジュールの機能を使えば, これらの操作を行うことができます.
これらのタイプのモデリングシナリオでは, 電磁波 (周波数領域) または電磁波 (ビームエンベロープ)フィジックスインターフェースを使用できます. 次に, 通常, 関連するモードごとに, 関連する各断面にポート境界条件を追加します. その後, ポートごとに数値オプションを有効にします. 簡単にするために, このような変更を加えたポート機能を数値入力ポート と呼びましょう. 計算には, 各数値ポートの境界モード解析と周波数ドメインスタディを組み合わせて使用できます.
数値ポートを使用すると, 境界モード解析スタディステップ中にモードプロファイルとその伝播定数が計算されることになります. これは,モード解析とほとんど同じです. 正確なポート名を指定する必要がある追加のポート名設定が1つあります. 解析では, この ポート のすべての境界に対してモード分析が実行されます. ポートごとに1つの正確なモードを見つける必要があることに注意してください. そのため, 必要モード数 を1に設定し, 周辺のモード検索フィールドに有効モードインデックスを非常に正確に推定して入力する必要があります. モードの特性について予備知識がない場合は, 予備モード解析を実行し, 必要なすべてのモードのグローバル値を定義することをお勧めします. これは, マルチモード方式で作業する場合に特に重要です. その後のポートの設定を自動化することもできます.
この設定は非常に強力です. まず, 2D断面を作成せずに3Dで直接使用できます. さらに, 1Dポート用に2Dで使用できます. 次に, ポスト処理で, デバイスの S パラメーターと反射係数と透過係数が得られます. 第三に, PMLの典型的な波長を定義するか,“境界モード解析”から直接伝搬定数を使用して, “電磁波 (ビームエンベロープ)” フィジックスインターフェースの“波動ベクトル”設定で位相を指定できます.
注: マイクロストリップやコプレーナ線などのRFデバイスの場合, TEMまたは準TEMモードを受信するために, 数値ポートのためのいくつかの特別な設定があります.
.
図 8. 散乱体を含む光導波路の周波数領域解析. このモデルでは4つの数値ポートが使用されます. 基本モードで終端するために使用される2番目の数値ポートの境界モード解析の設定ウィンドウが表示されます. 有効屈折率に関する情報は, 初期スタディによって取得されます.
アプリケーションギャラリには, 数値ポート条件と境界モード解析スタディの使用を紹介する, 次のような優れた例がいくつかあります.
終わりに
このブログでは, RFモジュールまたは波動光学モジュールを使用して導波管構造の断面の共振モードを見つけ, その定性的および定量的特性を取得する方法について説明しました. これらの特性は, そのようなモードの励起または終端のさらなる完全波動解析に使用できます. さらに,モード解析スタディと数値ポートを使用してモデルの一般的な設定を確認しました. この情報を使用すると, 無線周波数と波動光学の計算の効率を向上させることができます.
ここで説明する手法は, 音響学および機械学アプリケーションにおける波の挙動を解析するためにも使用できます. 詳細については, 次のモデルを確認してください: 剛体および弾性壁, プレート内の弾性波伝播と航空エンジンダクトの空力音響計算 .
次のステップ
電磁導波管のモード解析チュートリアルモデルを使用して, 同軸ケーブルまたはリブ導波管のモデルのモード解析を自分で実行してみてください.
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