3D モデルによる海底ケーブルの誘導効果解析

2020年 7月 9日

故障した海底ケーブルを交換するとなると, 1億円以上の費用がかかる可能性があるため, 一般的には40年以上使えるように設計されています. 投資に対するリターンを確保するため, 業界では通常, 経験則, 安全マージン, ライフサイクル解析, 国際電気標準会議 (IEC) などの規格に大きく依存し, 保守的に行動しています. しかし, これらのマージンや規格は, 必要な寸法や材料を過大に見積もる結果になりがちです. 競争の激しい市場において, ケーブルサプライヤーはより費用対効果の高いソリューションを求めています.

このブログでは, 8回にわたるケーブルチュートリアルシリーズの最終回として, 3D ケーブルモデリングについて説明します. このシリーズでは, COMSOL Multiphysics® と AC/DC モジュールを使用したケーブルのモデリング (2D, 2.5D, 3D) について様々な角度から解説しています. このチュートリアルシリーズの最初の6つのパートは, 以前のブログ: COMSOL Multiphysics® によるケーブルのモデリング: 8 部構成のチュートリアルシリーズで紹介されています.

急速に進化するケーブルのモデリング機能

ほんの数年前までは, 詳細な 3D ケーブルモデルを利用できるのは, 大規模なクラスターシステムで専用のコードを実行する専門家だけでした. 現在では, 最新のデスクトップコンピューターがあれば, 誰でも30分ほどで, ねじれ磁性装甲を持つ3D ケーブルモデルを実行することができます. ジオメトリの取り扱い, メッシュ作成, 解析, およびポスト処理はすべて, 使いやすいデスクトップ環境である COMSOL Multiphysics® ソフトウェア内で実行されます.

COMSOL Multiphysics でモデル化した海底ケーブル. 抵抗損失と磁気損失の密度を示しています.

公称相温度90°C での3芯鉛被覆 XLPEHVAC 海底ケーブルの相, スクリーン, および装甲における抵抗性および磁気損失密度.

その結果, 電力ケーブル業界では, IEC 規格のような経験則に基づくモデルから, 3D ケーブルモデルに徐々に移行しつつあります. 典型的な使用例では, これらの規格によって, メーカーは特定の仕様を満たすことができます. ケーブルシステムのユーザーにとっては, 必要な動作条件やその結果としてのシステムの制限などを評価することができます.

規格が経験則や数十年の経験に依存するのに対し, 数値モデルは実際にマックスウェル方程式を完全に詳細に解いています. これの明らかな利点は, 公式な規格が存在しないデバイスを解析できることです. さらに, 数値モデルは, 物理現象を詳細に洞察し, 規格の枠を超える手段を与えてくれます. これにより, 十分な安全マージンを確保しながら, 材料費や製造コストを削減し, システムの効率を高めることができるのです. 競争の激しいケーブル市場において, 数値解析は重要な資産とみなされています.

3次元ねじれケーブルモデルにおけるジオメトリとメッシングの考慮点

大規模な3次元 FEM モデルの場合, ジオメトリとメッシュの設定は, モデリング時間の大半を占めることになります. (つまり, 機械時間ではなく工数) ねじれ周期性条件を使用する場合でも, ジオメトリには極端なアスペクト比が含まれます. つまり, 汎用の等方性自由四面体メッシュを使うだけで, 自由度は簡単に3000万以上になってしまうのです!

反復ソルバーであれば, あまりメモリを消費せずに処理できるかもしれませんが, 確実に効率よくモデルを解けるものを見つけるのは, 言うほど簡単ではありません. 直接法ソルバーを使用するのが良い選択ですが, 32GB の RAM と数百ギガバイトの SSD スワップドライブ容量を持つデスクトップマシンのような安価なハードウェアでスムーズに動作させるには, DOF 数を約 200-400 万に下げる必要があります. 幸いなことに, 直接ソルバーは, 異方性メッシュに関しては, 反復ソルバーよりも寛容です.

ねじれ装甲付き3芯リードシースケーブルのモデル形状を 3D で表示したもの.
COMSOL Multiphysics の3芯ケーブルモデル用掃引メッシュの図.

左: ねじれ装甲を備えた3芯鉛被覆ケーブルの3D ジオメトリ. 右: 位相, スクリーン, 装甲のスイープメッシュ (スクリーンと装甲の間の空隙領域は延伸四面体メッシュを使用).

その結果, 平均的なデスクトップマシンで妥当な時間内にモデルを解くことができるように, DOF 数を十分に少なくして, ケーブルのジオメトリとフィジックスを適切に求解できるメッシュを見つけることが課題となります. チュートリアルシリーズの第7回ジオメトリとメッシュ3D チュートリアルでは, この課題に効率的に取り組む方法をご紹介します. このチュートリアルでは, ジオメトリとメッシュに関する次のようなさまざまなトピックについてご説明します:

  1. COMSOL のジオメトリシーケンスを使用した, らせん状の導体の作成
  2. ドメインと境界の賢い選択フィルタを利用して, モデルの設定を大幅に簡素化する方法
  3. 効率的でロバストなメッシング戦略の設定

ジオメトリを設定する際, 傾斜補正係数や切り捨て補正係数などのジオメトリ補正係数が使用されます. これは, 最小限の計算量で最大限の精度を得るためです. さらに, スウェプトメッシュ, 延伸四面体メッシュ, 境界層メッシュ, メッシュの適合性についても解説しています.

3D モデルによる海底ケーブルの誘導効果解析

誘導効果 3D チュートリアル (シリーズの最終回) では, XLPE 海底ケーブルを 3D でモデリングする際のトピックを包括的に紹介します. 2D および 2.5D モデルは, ケーブルのエンジニアリングに非常に有用ですが, 3D モデルと同じように, 位相, スクリーン, 装甲間の正確で複雑な相互作用を捉えることはできません. なぜでしょうか?一般的に, 位相と装甲は異なる長さで, 反対方向にねじられているからです. この逆方向のねじれにより, 磁束密度が装甲の縦方向成分を形成し, 磁束は円形ではなく, らせん状の経路をたどります (下図参照). この現象および関連する効果は, 完全な3D ねじれモデルを使用してのみ解析することができます.

海底コイルの電線から電線への磁束線の経路の図.
磁束線経路から得られる縦方向の磁束密度をプロットしたもの.

左: 磁束線の通る経路 (装甲線に沿って一定距離進み, 線から線に飛び移る). 右: 結果として生じる縦方向の磁束密度.

それでは, ケーブルチュートリアルシリーズ第8回で取り上げたトピックのいくつかをご紹介します…

押出し型2D モデル

ここでは, 2D と完全に等価であるべき3D ケーブルモデルの作り方についてご説明します. ねじれのない, 単純な押出しです. 一見, 役に立たなさそうですが, 実は非常に多くの情報を得ることができます. 3D モデルは, 2D モデルと比較して大幅に簡略化されており, 2次関数ではなく1次関数を使用しています (つまり, 解は2次関数ではなく区分線形になります). これらの対策は, 3D モデルを管理しやすくするために必要なものですが, 代償がついてきます. 理論的には2D モデルと同じ結果をもたらすはずの3D モデルを作成することで, 使用した簡略化の効果を調べることができます. これにより, 実際に測定しなくても, 3D モデルの精度の下限値 (約0.2~0.5%) が分かります (ちなみに, 測定精度にも限界があります).

このモデリングのステップのもう一つの大きな利点は, 実寸大にする前にモデルをテストすることができることです. この時点では, ジオメトリはねじれていないため, ねじれ周期性に沿った特定の長さは必要ありません. ねじれモデルでは, ケーブルのクロスピッチに等しい長さが必要になりますが, 押出し 2D モデルでは, 10倍の長さになるように選択します. 30分ではなく1分で解けるので, テストやサニティチェックを素早く行うことができます. このように, 完全にパラメーター化されたジオメトリを使用すれば, スイッチを押すだけで完全な 3D ねじれジオメトリに移行することができます.

本格的なモデリングを行う前に, 小規模 (できれば2D) でモデルのテストと検証を行うことは, モデリングにおいて賢明なステップであると言えます. まず,作成した数値シミュレーションがロバストで効率的であり, その目的に適う正確さであることを確認する必要があります. この段階ですでに, デバイスの基本的な動作や, コスト削減のポイントなど, 多くのことを学ぶことができます. その後, パラメトリックスイープや自動最適化など, 通常のプロトタイプや測定でカバーできる範囲を超えて, 簡単にモデルを作成することができます.

3D ねじれモデル

ねじれを含めると, ケーブルのモデリングは別の次元に入ります. まず, 適切な種類の周期性が必要になります. ケーブルの周期長は, 位相と装甲の敷設長さで決まります (この場合, 約1.6 m です). しかし, 周期性はある周期平面から別の周期平面へまっすぐ投影されるわけではありません. ねじれが含まれているのです. ケーブルのまっすぐな (ねじれのない) 周期性は, なんと40メートルにもなるのです! このため, 最近のケーブルの論文では, このねじれ周期性が繰り返し話題になっているのです.

 

相電流, スクリーン電流, 装甲電流, 装甲束, 装甲損失, 温度分布, およびメッシュ構造のアニメーション.

さて, ケーブルの挙動が変化します. 磁束は装甲の中で縦方向成分を形成し, 誘導された装甲電流は装甲ワイヤーの中心線を取り囲むように小さな渦を形成します. ねじれは装甲ワイヤーごとの縦方向の電流の総和をゼロに抑制しますが, 電流を局所的に拘束するわけではありません. その結果, 電流は装甲の内側 (位相とスクリーンがあるところ) で縦方向の正方向に流れ, 外側 (位相の起電力が弱いところ) で逆流します. この効果は, 連載第4回でご紹介した2.5次元モデルでうまく再現されています. しかし, 円形の渦は3次元でしか見ることができません.

 

横方向の電流はワイヤーの断面に渦を作り (円錐), 縦方向の電流は前後に流れ, 平均してゼロになります (勾配).

3D での線形化された抵抗率

ケーブルのモデリングにおいて, 熱の影響は重要な要素です. 海底ケーブルは通常80〜90℃ 前後の温度で動作し, ケーブルの材料特性は温度に依存します. 3D で熱効果を扱う非常に効率的な方法は, 2D の誘導加熱モデルから温度を取得し (連載第6回で紹介), それを使って 3D で温度に依存する材料特性を指定することです. これは, 一次温度補正と見なすことができます. 必要に応じて, 次の手順を繰り返すこともできます:

  1. 3次元の平均位相損失, スクリーン損失, 装甲損失を計算
  2. それらを2D 熱モデルで熱源として使用
  3. 温度を計算し…
  4. 平均位相温度, スクリーン温度, 装甲温度を使用して, 3D で材料特性を更新

COMSOL Multiphysics では, お望みであれば, 完全に結合した 3D/2D ハイブリッド誘導加熱モデル (あるいは完全な3D モデル) を使用することもできます. いずれにせよ, 温度は非常に早く収束することがわかります. ほとんどの場合, 1次温度補正は十分すぎるほど有効です. 10~20%程度の初期誤差が, わずか0.2%に抑えられます.

2次元完全連成誘導加熱 3Dねじれモデル

(加熱なし)

一次温度補正付き3D ねじれ
位相損失 (kW/km) 58 48 59
スクリーン損失 (kW/km) 11 18 15
装甲損失 (kW/km) 6.8 2.8 2.8
相 AC 抵抗 (mΩ/km) 59 53 59
相インダクタンス (mH/km) 0.43 0.44 0.45

一次温度補正を行った3次元ねじれモデルの結果と, 次元ねじれモデルおよび2次元完全連成誘導加熱モデルの比較.

抵抗率の変化により, ケーブルのバランスが崩れます. 能動導体は電流駆動であるため, 局所的な損失が増加します. しかし, 受動導体は電圧駆動であるため, 局所的な誘導電流と損失が減少するのです. このほか, ウォーターベッド効果もあります. 具体的にご説明すると, 装甲の渦電流が減少するため, 磁束が装甲ワイヤーを貫通しやすくなり, 磁気損失が増加します. 公称位相温度90℃ の場合, 装甲の総損失の約75%を占めます.

海底ケーブルの装甲とスクリーンの体積損失密度をプロットしたもの.
ケーブル装甲の縦方向の平均電流密度をプロットしたもの.

左: 一次温度補正後の装甲とスクリーンの体積損失密度. 右: 補正項を適用する前の装甲の平均縦電流密度.

補償型安定化

導電率は, 自然に発生する値の幅が最も大きい材料特性の一つであると思われます. ケーブルの架橋ポリエチレン (XLPE) の導電率は約1e-18 S/m, 銅は6e+7 S/m で, 6e+25という対照的な値になっています. 数値的に安定させるために, 絶縁体には50S/m という人工的な導電率を与えています. このような誘導性のモデルでは, 50S/m はゼロの合理的な近似値であることがわかります (良い絶縁体を与える). 容量性モデルと同様に, 1 S/m はすでに導体の良い近似値かもしれません (ケーブルの容量性特性については, チュートリアルシリーズのパート2をご覧ください).

50 S/m が妥当な値であることを示すために, 結果として生じる漏れ電流を補正する手順でモデルを解いています. まず, 縦方向の装甲電流の合計 (装甲ワイヤーの断面積で積分) を評価し, ワイヤー間に実際に漏れがあることを示します (上の画像参照). 次に, このモデルをもう一度解きます. 2回目は, 漏れ電流を引いた分の人工電流を追加します (ポンプを設置して補うようなイメージ). その結果, 人工的な絶縁体の損失は, 0.1 kW/km (全体の損失に比べれば, すでに取るに足らないもの) から0.0002 kW/km に減少するのです. 高次の温度補正と同様に, この手順は通常省略することができます. それでも, 追加で検証を行いたい場合には有効な手段です.

注: この絶縁体損失は, 数値安定化に関するものです. 容量性モデルで使用される一般的なtan(δ) 誘電損失とは異なります. また, このような安定化を必要としない別の数値的アプローチも利用可能であることにご注意ください. しかし, これらの方法は, 通常, より多くの計算資源を必要とし, 費用対効果の低いワークフローとなります. したがって, ゴールは可能な限り正確なモデルを持つことではなく, 投資に対して良いリターンを得られるモデルを持つことです.

ケーブルチュートリアルシリーズのその他の使用方法

信じられないかもしれませんが, ケーブルチュートリアルシリーズは, ケーブルにだけ使えるものではありません. 電磁気学と数値解析, 優れたエンジニアリングの実践, 理論の理解と適用, 結果の検証, そして視覚的に魅力的で情報量の多い結果の提示についても役立ちます.

ねじれ磁性装甲を備えた三相ケーブルの例は, 大学や産業界で行われる講座で, 様々な電磁現象や数値現象を説明するのに適しています. 多くのケーブルは標準化されているため, その物理特性は文献から入手可能であり, モデリング結果の検証を行うことができます. 同時に, ケーブルは現在も研究が進められているため, 工学部の学生や他学部の学生にとっても興味深い題材です.

次のステップ

ケーブルチュートリアルシリーズ (全8回) は, 下のボタンをクリックしてお試しください. 3D ケーブルモデルでの誘導効果について学習したい方は, パート7と8にスキップしていただけます.

チュートリアルシリーズのパート1~6については, こちらをご覧ください: COMSOL Multiphysics® でのケーブルのモデリング: 8 部構成のチュートリアルシリーズ

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