境界要手法素法 (BEM) は, 静磁気のモデリングにおいて, FEM に代わる有効な手法なのでしょうか？ 3回にわたるチュートリアルでは, マックスウェル応力テンソルを用いて電磁力計算を行い, BEM の能力を実証します. 結果は解析モデルに対して検証され, FEM による結果と比較され, この目的における境界要素の価値と有用性を示しています. チュートリアルシリーズで学習する内容のプレビューをご覧ください.
境界要素と有限要素の比較
BEM は, 静電気, 静磁気, 音響, 腐食などの解析に FEM の代わりに (または FEM と組み合わせて) 使用できる数値モデリングツールです. FEM とは異なり, BEM は表面メッシュのみを必要とするため, 計算領域全体で体積メッシュを生成する必要はありません.
BEM は, 適切な状況で適用すると, 計算効率が高く, 実装が簡単です. この方法は, すべての自由度を他のすべての自由度と接続し, 無限領域, 等方性材料, およびワイヤーに対して適切に機能します. ただし, BEM は, 非線形または一般的な不均一な材料を使用するモデルには適用できません.
例として静電気を取り上げます. この分野では, BEM を使用することで, 次のようなさまざまなモデリングタスクを合理化できます:
- ワイヤーと等方性材料のモデリング
- 無限ドメインの設定
- 任意の距離でのポスト処理
場合によっては, BEM を使用して一部の領域をモデル化し, FEM を使用して一部のドメインをモデル化し, 2つの方法を組み合わせてそれぞれの利点を体験できます.
電磁力検証チュートリアルシリーズの2本の平行な磁気ロッドのモデル.
BEM の基本的な概要がわかったので, BEM で何ができるのか疑問に思われるかもしれません. 1つは, この方法は, 正確なフラックス計算が重要な場合に有利です. この一連のチュートリアルでは, 静磁気モデリングのコンテキスト内で FEM の代替として BEM を解析します. 特に, マックスウェル応力テンソルを使用して電磁力を計算します.
FEM と比較して BEM のパフォーマンスを確認してから, 解析モデルを使用してアプローチを検証してみましょう.
電磁力計算の実行と検証
このチュートリアルシリーズでは, COMSOL Multiphysics® プラットフォームとアドオン AC/DC モジュールの製品が使用されています. チュートリアルで電磁解析を検証するためのテクニックには, 次のものがあります.
- フィレット, 高度なメッシュ, および外部力プローブサーフェスを使用して精度を向上させる
- いくつかのメッシュサイズの BEM と FEM の比較
- パラメトリックスイープによるメッシュ収束の解析
シリーズのパート1では, パート2とパート3で使用されるモデルの形状を紹介し, それらを段階的に構築する方法について詳細に説明します.
注: 経験豊富なソフトウェアユーザーは, パート1の概要をスキップして, パート2に進むことができます. COMSOL Multiphysics を初めて使用する場合, これらの手順は, モデルジオメトリ設定の基本を開始するのに役立ちます.
パート2のモデルジオメトリは, 半球内の1つのロッドで構成され, 2番目のロッドは対称性を介して考慮されます. パート3のトルク解析では, 単一のロッドが球形の領域に配置され, ロッドに外部場を適用する立方体の表面によってカプセル化されます.
電磁力 (左) および電磁トルク (右) モデルのモデルジオメトリ.
ハイブリッド BEM-FEM アプローチによる磁力の計算
剛体にかかる電磁力を決定するには, さまざまな方法があります. マックスウェルの表面応力テンソルを使用して力を計算する場合, 磁場 (H) と磁束密度 (B) の正確な磁束積分を得ることが重要です.
BEM はこの分野で非常に強力であり, 力を計算するときに潜在的な利点を提供します. FEM とは異なり, BEM を使用する場合, 境界に垂直な流束は自由度として直接入力されます. これにより, 反力積分や弱い制約を必要とせずに, 正確な流束計算が可能になります. ここで取り上げたモデルを BEM で解き, その結果を FEMおよび解析モデルと比較することで, 電磁力の計算に BEM を使用することを検証できます.
静磁気に関しては, 2つの理論的構成が一般的です:
- 磁極
- 原子電流
ここで使用する解析モデルは, 静磁気電荷を考慮し, 数学的には静電気と同等であるため, 磁極に基づいています.
電磁力検証モデル (左) と検証用解析モデル (右) の2D ジオメトリ.
検証モデルには, 長さが1メートルで間隔が1メートルの2本の磁化されたロッドが含まれています. 解析モデルが正確に1ニュートンメートルのロッド間の反発力を予測するように, ロッド内の残留磁束密度が特別に選択されます. これらの条件は, 数値結果を比較して精度のレベルを判断するために使用できるため, 重要です.
電磁力計算の2つの方法の比較
結果を見ると, 比較的粗いメッシュのモデルでも, BEM アプローチで滑らかな場を生成できることがわかります.
ロッド表面 (左) とプローブ表面 (右) での電磁力の計算に使用されるマックスウェル表面応力テンソル.
BEM および FEM の結果をさまざまなメッシュサイズの解析モデルと比較すると (下のグラフを参照), 一方で, 境界要素法が粗いメッシュに対して正確な結果を生成することがわかります. 一方, 有限要素法では, 同じレベルの精度に到達するために, 極にはるかに細かいメッシュが必要です.
さらに, 力プローブの結果がより正確であることに注意してください. 応力テンソルは, 磁石から特定の距離ではるかにうまく動作します. そのため, 力プローブモデルは解析モデルとうまく比較されます.
BEM (紺色) を使用したロッド表面, BEM (緑) を使用したプローブ表面, BEM-FEM (赤) を使用したロッド表面, および BEM-FEM (水色)を使用したプローブ表面の力計算の相対許容誤差.
シミュレーション結果は, 応力が磁石のフィレットに強く集中していることも示しています. これは, 鋭いエッジを持つ剛体にかかる力の計算が一般に不正確である理由を説明しています. 実際, 鋭い角を持つ磁石にかかる力を計算すると, 結果が2000％もずれることになります. BEM アプローチでは, メッシュが比較的粗いモデルの場合でも, 結果に対して滑らかな場を生成できます.
境界要素法による磁気トルクの解析
第3部では, 異なる形状の磁力 BEM-FEM 検証モデルの解析を続けます. 長さ1メートルの単一の磁化されたロッドが垂直な外部磁場Be (下, 右) に配置されます. 外部場の強度は, 解析モデルが 1 ニュートンメートルのロッドのトルクを正確に予測するように選択されます. このようにして, 解析モデルを使用して, ロッドのトルクの数値結果を検証できます.
トルク解析用のモデルジオメトリ (左) と解析モデル (右) の概略図.
BEM アプローチの場合, 結果は電磁力のチュートリアルの結果と同様です. 粗いメッシュでも滑らかな場があり, 応力はフィレットに集中しており, 解析モデルと比較するとかなりの精度があります.
ロッド表面 (左) とプローブ表面 (右) での電磁トルクの計算に使用されるマックスウェル表面応力テンソル.
パート2と同様に, BEM–FEM を組み合わせたアプローチの結果には, 誤差が大きくなります. BEM と組み合わせたアプローチの両方で, プローブ表面の結果はロッド表面の結果よりも正確です.
これらの2つのモデルで示されているように, BEM は, 適切に使用され, 適切な状況で適用されると, 静磁気モデリングに有利になります.
次のステップ
電磁力の計算の実行と検証に関する包括的な説明については, 電磁力検証シリーズを参照してください. 下のボタンをクリックすると, PDF の説明と MPH ファイルのダウンロードにアクセスできます. これにより, アプリケーションギャラリーに移動します.
参考文献
これらの関連ブログで電磁気モデリングの詳細を確認してください.
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