波動光学モジュールを使用したレンズシミュレーションの実行方法

波動光学でレンズシミュレーションを実行することは, 多くのメッシュ要素を必要とするため, 一般的に困難です. このブログでは, COMSOL Multiphysics® ソフトウェアのアドオンである波動光学モジュールを使用して, マックスウェル方程式に基づいてレンズシミュレーションを実行する方法を示します.

光学シミュレーション手法の紹介

光学シミュレーション方法には, 主に2つのカテゴリがあります:

1. 光線追跡
2. 波動光学

回折効果をシミュレートする場合 (ビームの焦点を合わせるだけでも回折が発生します), 波動光学が必要です. 波動光学では, 完全波動マックスウェル法とビーム伝搬法 (BPM) の2種類の方法を検討します. 各方法には, 以下に概説する特定の制限があります:

光線追跡は, 物体のサイズと比較して波長が無視できる場合の近似です. したがって, 回折は扱いません. 完全波動マックスウェルソルバーは文字通りマックスウェル方程式を解くため, 厳密であり, 理論的にはモデルの近似はありません. BPM は通常, フラウンホーファー近似 (つまり, フーリエ変換) やフレネル回折式などのさまざまな近似を定式化に含みます.

完全波動マックスウェルソルバーは最高の方法のように見えます. ただし, 光学シミュレーションに関しては, 従来のマックスウェルソルバーには問題があります. 求解するには細かいメッシュと大量のメモリが必要です.

• 光学部品
• 表面反射による干渉パターン

従来のマックスウェルソルバーでは, シミュレーションの実行時に, 計算​​領域内のすべての点が寄与します. このため, ドメイン全体にメッシュが必要であり, メッシュ要素は波長を解像する必要があります. 次に, 標準の光学レンズのような大きな物体をシミュレートする場合に問題が発生します. BPM にはこの問題はありません. 場の解は, 特定の伝播法則を使用してある平面から別の平面に文字通り伝播 (またはジャンプ) するため, 平面間にメッシュを必要としないからです.

ビームエンベロープインターフェースを使用したレンズシミュレーション

従来のマックスウェルソルバーと比較して, COMSOL® ソフトウェアのビームエンベロープインターフェースは, 高速振動部分が定式化で考慮されているため, この問題はありません. 解の包絡線がゆっくりと変化する場合は, このインターフェースを使用できます. 実際には, そのようなケースはたくさんあります. この方法を使用すると, 多くのメッシュ要素は必要ありません. したがって, 均一材質領域をシミュレートし, 包絡線がゆっくりと変化する場合, このインターフェースがあれば計算ができます. しかし, それだけではありません…

不均一な領域を含む光学系を求解したいことがよくあります. 私たちが直面している問題は, 材料界面からの反射です. たとえば, レンズの表面. どのように反射が問題を引き起こすのでしょうか？ 反射は, マックスウェルの方程式の解でもあります. したがって, マックスウェルソルバーは, いくつかの材料界面がある場合, 反射を含む解を見つけようとします. 反射が発生した場合, それらは入射ビームと干渉し, 最終的に波長の半分の定在波になる可能性があります. これは元の問題を悪化させます. 半波長を求解する必要があります. これは, より多くのメッシュ要素を意味します. これにより, ビームエンベロープインターフェースの価値が減ります. この状況を下図に示します.

ビームエンベロープインターフェースを使用したレンズシミュレーションの拡大図. レンズ (中央部) に干渉があり, より細かいメッシュが必要です.

表面反射を回避するために, 実際にはほとんどの場合, 各光学部品に AR コーティングが施されているのと同様に, 反射防止 (AR) コーティングを検討できます. 適合境界条件を使用して, 自由空間を伝播するガウシアンビームの例を見てみましょう.

上: シミュレーションで使用されたメッシュ. 伝播方向 (左から右) に沿って必要なメッシュ要素は1つだけです. 下: ビームエンベロープインターフェースを使用したガウシアンビームシミュレーション, 一方向の定式化. 空気以外の素材は挿入していません.

上記のシミュレーションでは, ビームが右の境界に向かって拡大するように, 左の境界に焦点を合わせています. 左側の境界以外の他のすべての境界は, 励起なしで適合境界条件に設定されます. 次に, ドメインの右側にガラスを追加しましょう. ドメインの左側で反射が予想され, 右側では反射がないことが予想されるため, 左側のメッシュを増やす必要がありますが, 右側の単一メッシュを維持できます. (双方向定式化を使用すると, 1つのメッシュ要素だけで反射を正確に捕獲できることに注意してください. ここでは反射には関心がないため, 一方向の定式化を使用します.)

ビームエンベロープインターフェースを使用したガウシアンビームシミュレーション, 一方向の定式化. ドメインの右側にガラスが挿入されています. 上に表示されているのはメッシュです. 干渉パターンの半波長を解像するには多くのメッシュ要素が必要ですが, ドメインの右側に必要なメッシュは1つだけです.

予想どおり, ドメインの左側に反射が発生するため, そこに多くのメッシュ要素が必要です. これは, ビームエンベロープインターフェースの利点を損ないます. それでは, ガラス表面に AR コーティングを追加しましょう. 単色光用の最も単純な AR コーティングは, 1/4 波長 AR コーティングです (Hecht 著Optics を参照). 1/4 波長 AR コーティングは, 屈折率が, \sqrt{n_1 n_2}である薄膜です. ここで, n_1およびn_2は, 膜を挟む各材料の屈折率であり, 厚さは, \lambda_0/\sqrt{n_1 n_2}/4であり, \lambda_0は真空波長です. この膜では, 反射率は\lambda_0でゼロになります. 次に, シミュレーションに AR コーティングを含める方法を見てみましょう.

ビームエンベロープインターフェースを使用したガウシアンビームシミュレーション, 一方向の定式化.ドメインの右側にガラスが挿入されています. ガラス表面に1/4波長 AR コーティングを施しています. 上に表示されているのはメッシュです. すべての材料ドメインに必要なメッシュは1つだけです.

AR コーティングのおかげで, 反射がなくなり, このインターフェースから最大のメリットが得られます. 空気, AR コーティング, ガラスをそれぞれ表すドメインごとに, 伝播方向に1つのメッシュ要素のみが必要です.

COMSOL Multiphysics バージョン5.4の時点で導入された境界条件である遷移境界条件は, 厚さがゼロのこの 1/4 波長 AR コーティングを模倣しています. 下の図のように, \sqrt{n_1 n_2}と\lambda_0/\sqrt{n_1 n_2}/4の屈折率とコーティングの厚さを指定するだけです.

遷移境界条件の設定.

ビームエンベロープインターフェースを使用したガウシアンビームシミュレーション, 一方向の定式化. ドメインの右側にガラスが挿入されています. 遷移境界条件はガラス表面に適用されます. 上に表示されているのはメッシュです. 反射がないため, すべてのドメインに必要なメッシュは1つだけです.

これで, 遷移境界条件がどのように役立つかがわかります. 特に, 各表面に実際の薄膜コーティングを作成することを回避できる, 多くの材料界面がある場合に役立ちます.

この境界条件を使用すると, 以下に示すように, 干渉縞だらけのレンズシミュレーションの最初の図は完全にきれいになりました.

ビームエンベロープインターフェース, 一方向定式化, 遷移境界条件を使用したレンズシミュレーション. 干渉の原因となる反射がないため, メッシュを粗くすることができます.

まとめ

従来の完全波動マックスウェルソルバーは, 光学シミュレーションに使用する場合, 多くのメッシュ要素を必要とします. ビームエンベロープインターフェース, 一方向定式化, および遷移境界条件は, 特定の条件下でこの問題に対処します. このアプローチは, 光学系を含む大規模な光学系や, 多光学系の結合にも使用できます. このようなアプリケーションには, レンズ系, 導波路, 外部光学系, ファイバーカップリング, レーザーダイオードスタック, およびレーザービーム搬送系が含まれます.

外気にアウトカップリングする導波管のシミュレーション.

次のステップ

下のボタンをクリックして, 波動光学モジュールがレンズシミュレーションにどのように役立つかを確認してください: