境界要素法 (BEM) は, 音響モジュールにフィジックスインターフェースとして含まれています. COMSOL Multiphysics® ソフトウェアのバージョン 5.3a 以降で利用可能なこのインターフェースは, 有限要素法 (FEM) に基づくインターフェースとシームレスに組み合わせて, たとえば音響構造相互作用問題をモデル化できます. この機能により, 音響モジュールで求解できる問題の範囲が広がります. ここでは, BEM 機能, 例, および BEM 固有のポスト処理について説明します.
音響モデリングにおける BEM の利点
BEM 機能は, 音響モジュールで圧力音響 (境界要素) インターフェースとして利用できます. このインターフェースは, 各ドメイン内で定数値の材料特性を持つ2Dおよび3D音響問題を解くことができます. 流体モデルには, 複素数値の材料データを使用することで散逸を含めることができます. さらに, BEM インターフェースを散乱場定式として実装すると, 散乱問題を処理できるようになります (下の画像を参照). 以下で説明するように, BEM の導入により, ユーザーはこれまでは求解できなかった新しいカテゴリの問題を解くことができます.
球状散乱体の古典的な BEM ベンチマークモデル. その結果は解析解と比較されます. 左の画像は 500 Hz での2つのカットプレーンの音圧レベルを示し, 右の画像は 1400 Hz での散乱場の比較を示します. 球状散乱体: BEM ベンチマークチュートリアルモデルからの画像.
重要な機能は, BEM ベースのインターフェースを FEM ベースのインターフェースと結合できることです. たとえば, 音響-構造境界マルチフィジックスカップリング機能を使用すると, 音響 BEM インターフェースを FEM ベースの振動構造に結合できます. さらに, 音響 BEM-FEM 境界マルチフィジックスカップリングを使用して, BEM と FEM の音響ドメインを組み合わせることができます.
この柔軟性により, BEM と FEM を最適な場所で使用でき, COMSOL Multiphysics の他のすべての物理カップリングと同様に, すべて同じユーザーインターフェース内で実行されます. たとえば, FEM を使用して, 閉じた空気領域などの振動構造の内部をモデル化できます. この方法では, より一般的な材料特性を含めることができます. また, BEM を使用して外部領域をモデル化できます. この方法は, 大規模で無限の領域をモデル化するのに適しています. これは, 以下に示すスピーカー モデルの場合です.
スピーカーのマルチフィジックスモデルを設定する際の COMSOL Multiphysics のユーザーインターフェース. このモデルには, BEM および FEM 音響, および固体およびシェルインターフェースが含まれています. この物理特性は, 組み込みのマルチフィジックスカップリングと結合されています. 振動音響スピーカーシミュレーション: BEM-FEM を使用したマルチフィジックスチュートリアルモデルからの画像.
BEM では, モデリングドメインの隣のサーフェスをメッシュ化するだけで済みます. これは, 大きなボリュームメッシュ (FEM に必要) を作成する必要性が低いことを意味し, BEM に基づくインターフェースは, 放射と散乱が含まれ, 詳細な CAD ジオメトリを持つモデルに特に役立ちます. インターフェースには, 無限音ハード境界 (壁) または無限音ソフト境界を設定するための条件も組み込まれています. これらの条件は, たとえば海面を無限音ソフト境界としてモデル化できる水中音響をモデル化するときに非常に役立ちます.
通常, BEM に基づくインターフェースは, そうでなければ大きな FEM ベースのボリュームメッシュが必要となる大きな流体領域の問題 (つまり, 大きな3Dメッシュのためにメモリが不足するケース) に使用すると有利です. このようなケースでは, BEM を使用すると, COMSOL Multiphysics が処理できる問題のクラスをさらに拡張できます. これらの問題の例には, 次のものがあります:
- 無限の壁または無限の音響ソフト境界が放射物体から (波長の観点から) 遠いモデル
- 互いに離れた散乱物体と放射物体の相互作用を含むモデル
- FEM を使用するときに放射条件または完全整合層 (PML) をぴったりと適合させることが難しい, 複雑で非コンパクトなジオメトリからの放射問題
散乱物体から遠く離れた場所にあるトランスデューサーアレイの例. この種の問題は, 大量のメモリを必要とするため, 純粋な FEM ベースのアプローチで解決するのは非常に困難, または不可能です. BEM を使用すると, モデルを求解できます (球を遠くに移動しても, 計算コストは増加しません). ソナーシステム用 Tonpilz トランスデューサーアレイチュートリアルモデルの画像.
BEM は, 同じ自由度 (DOF) の場合, FEM よりも計算負荷が高くなりますが, 通常, BEM では, 同じ精度を得るために FEM よりもはるかに少ない DOF しか必要としません. BEM によって生成される, 完全に埋め込まれた高密度のシステム行列には, FEM とは異なる専用の数値手法が必要です. 圧力音響 (周波数領域)インターフェースなどの FEM ベースのインターフェースは, 通常, 小規模および中規模の音響モデルを BEM よりも高速に解決します.
音響モジュールのユーザー ガイドによると, 圧力音響 (境界要素) インターフェースで使用される BEM は, Costabel の対称結合による直接法に基づいています. 結果として得られる線形システムを解くために, 適応型相互近似 (ACA) 高速総和法が使用されます. この方法では, 行列ベクトル乗算の効果が計算される行列の部分的なアセンブリを使用します. デフォルトの反復ソルバーは GMRES です. 組み込みのマルチフィジックスカップリングを使用すると, FEM ベースと BEM ベースの物理を組み合わせた問題を簡単にシームレスに設定できます. これらの結合モデルを解く場合, デフォルトのアプローチは, BEM の ACA とのハイブリッド化と, 問題の FEM 部分 (直接またはマルチグリッド) の適切な前処理を使用することです.
両方の長所を活かす: ハイブリッド FEM-BEM アプローチ
すでに述べたように, 圧力音響 (境界要素) インターフェースは, 圧力音響 (周波数領域) インターフェースや固体力学インターフェースなどの有限要素ベースのインターフェースとシームレスに結合します. この結合により, 必要に応じて, また最も適した場所で各定式化の長所を活用するハイブリッド FEM-BEM モデルを簡単に設定できます.
BEM は音響における有限要素を置き換えるものではなく, 補完するものと見なす必要があります. 一般的な経験則としては, FEM ベースのモデルを実行するときに大規模な流体領域で非常に細かいメッシュが必要になる場合は BEM を使用し, そうでない場合は最も適した場所で BEM を FEM ベースの物理と結合します. いくつかのアプリケーションと例には以下が含まれます:
- 複雑な形状のトランスデューサーと放射問題のモデリング
- トランスデューサー (圧電または電磁) を FEM で, 外部音響を BEM でモデリング
- 内部と外部の問題の組み合わせ
- 狭い領域と共振ボリュームでは FEM を使用し, 放射部分には BEM を使用する
- BEM と FEM に基づく音響モデルは, 音響 BEM-FEM 境界マルチフィジックスカップリングを使用して簡単に結合できることを覚えておいてください
メモリに収まる小さなモデルは, 通常, FEM を使用すると高速になることに注意してください. 放射条件または PML を使用した従来のアプローチを使用して, 開いた放射ドメインをモデリングします.
圧力音響 (境界要素) インターフェースを使用して, FEM ベースの放射条件または PML と遠方場場計算機能を置き換えることができます. たとえば, 以下のモデル例を参照してください.
ベッセルパネルチュートリアルモデルでは, 圧力音響 (境界要素) インターフェースを使用して解空間をモデル化します. BEM インターフェースは, 以前は必要だった放射条件 (または PML) と遠方場計算機能を効果的に置き換えます. この画像は, FEM ドメインの表面 (このドメイン内には複数の点音源があります) と, 外部 BEM 領域内の指定された範囲の3つの切断面の音圧レベルを示しています.
BEM モデルのポスト処理
BEM インターフェースを使用して問題を解く場合, 結果として得られる解は境界上の従属変数, つまり未知の場で構成されます. これには, 圧力 p とその法線導関数, つまり法線流束数 pabe.pbam1.bemflux が含まれます. ドメイン内の解の評価は, BEM の中核である積分カーネル評価に基づいています.
境界では, 専用の境界変数が定義されます. この変数は, 外部境界と内部境界で定義が異なり, 外部境界の従属変数と等しくなります. ここでは圧力が不連続であるため, 上下の圧力従属変数が内部境界で定義されます (pabe.p_up と pabe.p_down). たとえば, 内部サウンドハード壁境界などです. さらに, すべての境界には, 必要に応じて境界変数のプロパティをカーネル評価に基づく変数と組み合わせる定義済みのポスト処理変数が存在します.
これらの変数とその他のすべての後処理変数は, 下の画像に示すように, プロットの式を置換リストにあります.
定義済みのポスト処理変数の一部がリストされたユーザーインターフェース.
ドメイン内で BEM 解をポスト処理する場合, 前述の BEM 積分カーネル評価を使用して圧力場を再構築する必要があります. 専用のデータセットは, グリッド上でカーネル評価を自動化することで, BEM 解を簡単に可視化するために利用できます. 以下の段落では, 音響結果をプロットするために使用できるデータセットについて説明します.
グリッド3Dおよびグリッド2Dデータセットは, メッシュがない領域内でソリューションを評価するために特別に設計されています. これらのデータセットは, 解が評価される点の規則的なグリッドを設定します. グリッドのサイズと境界, および解像度 (グリッド間隔) を変更できます. 波の問題を可視化する場合, 適切な空間解像度を持つことが重要です. ただし, 解像度が大きすぎるとレンダリング時間が長くなるため, 解像度は大きすぎないようにしてください.
たとえば, グリッドデータセットは, スライスまたはサーフェスプロットの入力データセットとして選択できます. グリッドデータセットとマルチスライスプロットは, BEM モデルが求解されるときに自動的に生成され, デフォルトのプロットで使用されます. グリッドデータセットは, カットプレーン, カットライン, またはカットポイントへの入力としても使用できます.
オプショングローバルに定義された式のみを評価するが選択されている限り, パラメーター化された曲線とサーフェスを直接使用して BEM 解を評価できます.
専用の音響プロットは, BEM 変数を入力として直接使用できます. 例としては, 空間応答 (必ずしも遠距離にあるとは限りませんが, 実際には任意の距離) をプロットするために使用される遠方場プロットや指向性プロットなどがあります. たとえば, 音圧レベル変数 pabe.Lp を式として使用できます.
上記のさまざまなデータセットの一部のユーザーインターフェースのスクリーンショット. 重要な設定が強調表示されています.
上記のスクリーンショットは, ラウドスピーカー放射: BEM 音響チュートリアルモデルから取得されています. このモデルは放射問題を求解し, 一般的なプロットと結果の可視化設定のほとんどを備えています.
下の画像は, スピーカー表面のグリッドを通る3つのスライスに描かれた音圧レベルを示しています. ポスト処理および視覚化ツールの汎用性を示すために, 音圧レベルは, パラメトリック曲線3Dデータセットを使用して作成されたパラメーター化されたスパイラルカーブに沿っても表示されます.
ラウドスピーカー放射: BEM 音響チュートリアルモデルでさまざまな方法で描かれた音圧レベル.
BEM を使用する2つの特殊なケース
次に, BEM を使用する際に特別な考慮が必要な2つのケースについて説明します.
ケース1: 半空間放射問題
多くの音響アプリケーションでは, トランスデューサーが無限バッフル内に配置され, 半空間に放射される状況が伴います. ほとんどの場合, 境界要素を使用してこの設定を行うことはできません. 少なくとも, バッフルが無限でなければならない場合は不可能です. 無限でないバッフルは, たとえば, 内部音響ハード壁境界条件を使用して設定できます.
通常は, 無限音響ハード境界機能を使用します. この条件は, スピーカードライバーがバッフル内に配置されている場合のように穴を開けることはできません. BEM の定式化は全空間グリーン関数に基づいているため, 無限対称面または無限壁条件は, それらが無限であり, 開口部があってはならないことを意味します. 基本的に, フィジックスインターフェースで選択され, 有効なすべての境界は, 無限条件と同じ側にあるか, 無限条件上にある必要があります. そうでない場合, 結果は非物理的になります.
無限バッフル設定の一般的な推奨事項は, FEM ベースのフィジックスインターフェースを遠方場計算機能および PML または放射条件とともに使用することです. 例については, Lumped Loudspeaker Driverモデルを参照してください. この設定は通常, はるかに高速です.
圧力音響 (境界要素) インターフェースのユーザーインターフェース. 無限条件は, 最上位のフィジックスレベル (ここで強調表示) にあります. 条件を選択すると, 結果の平面がグラフィックスウィンドウに表示されます.
ケース2: 内部問題
内部問題 (特に, 損失がほとんどまたはまったくない鋭い共振の問題) は, BEM で求解するのが難しい場合があります. これは, 方法自体が原因ではなく, 反復ソルバーを使用して基礎となる行列系を効率的に求解するためです. 反復ソルバーを使用する FEM ベースのモデルでも同じ問題が発生します.
鋭い共振の近くでは, わずかな変化でも圧力の変動が生じ, それを捕捉して収束を確実にすることは困難です. 可能であれば, このような状況では FEM を直接ソルバーと一緒に使用するか, インピーダンス条件などの損失を伴う現実的な境界条件を追加してください.
境界要素法に関する結論
BEM は, COMSOL Multiphysics 環境で FEM を補完する非常に便利なツールです. 音響モデリングコミュニティの多くのエンジニアが, この機能の追加を待ち望んでいました. 音響モジュールのこの最新追加機能を楽しんでいただければ幸いです.
次のステップ
下のボタンをクリックして, 音響モジュールアドオン製品で利用できる特殊な音響モデリング機能で何ができるかを確認してください.
自分で試してみましょう: このブログで紹介されているチュートリアルモデルの1つをダウンロードしてください. アプリケーションギャラリから COMSOL Access アカウントにログインして MPH ファイルをダウンロードできます.
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