放射熱伝達における放射率のモデル化

放射熱伝達をモデル化する場合, 表面放射率という概念と, それが温度, 波長, 角度, その他の変数に依存することを認識する必要があります. この記事では, 熱伝導モジュールを使ってこれらの依存関係をモデル化する方法と, それらが熱のモデル化において重要である理由について説明します.

この記事は, 非関与媒体に囲まれた表面間の放射熱伝達のモデル化に関するシリーズの最初のブログです. パート2とパート3はこちらからご覧ください.

背景

まず, プランクの法則について説明しましょう. プランクの法則は, 大げさでなく, 現代物理学の基本的な洞察の一つです. この法則は, 既知の温度での理想的な黒体からの放射分光密度を表しています. プランクの法則を用いると, 自由空間に置かれた黒体からの分光黒体放射率を, 温度の上昇とともにプロットすることができます. これは, 温度が高くなると, 放射が増加することだけでなく, より短い波長で放射がピークになることも示しています. また, ピークの放射率に対して規格化されたパワーをプロットすることにも役立ちます.

対数スケールでの黒体放射率 (左), および対数スケールでの波長の関数としての線形スケールでのピーク放射に対する規格化された放射率 (右) のプロット.

プランクの法則を全波長にわたって積分すると, 自由空間における黒体の全放射率 E_b = \sigma T ^4 が得られます. ここで, ( \sigma はシュテファン・ボルツマン定数) です. ここで, 黒体の概念は確かに工学的な意義がありますが, すべての材料は黒体から逸脱しています. そこで, ある温度での材料の放射と理想的な黒体の放射との比である放射率 \epsilon という概念を導入します. この比は常に0から1の間の範囲になければなりません. ここでは, 放射が材料の表面から放出されていると言える不透明な材料の場合のみを取り上げます.

放射率は材料特性として言及されることが多いですが, それは材料と表面形状の両方の関数です. 粗い表面は滑らかな表面とは異なる放射率を持つことになります. また, 薄い塗料やコーティング, 酸化層によっても放射率は大きく変化しますが, それ以外の熱的挙動への影響はごくわずかです. さまざまな表面処理を施した一般的な工学材料についての表になったデータがありますが (例えば, Incropera と DeWitt による熱と物質移動の基礎), あらゆる動作条件を網羅する良質なデータを集めることは, 計算モデリングを始める前の重要なステップとなります. このデータを収集する前に, 慎重な分析者は, どのようなモデリング変数が放射率に影響を与え, それによってモデリング手順がどのように変わるかも知っておく必要があるでしょう.

最も単純なモデリング方法は, 放射率を定数として扱うことです. 最大温度変化が数十ケルビン以下の工学用途では, 多くの場合これで十分です. しかし, 材料の温度が大きく変化すると, その材料特性が変化するため, 温度 \epsilon\left( T \right) による放射率の変化を考慮する必要があります. また, 材料によっては, 放射率が波長 \epsilon\left( \lambda\right) に対して大きく変化することがあります. 放射率は波長に対して連続的に変化しますが, モデル化するためには, スペクトルを有限数の個別の波長帯域に分割するだけで十分です. これらの帯域の選択は, モデル化される材料の放射率と熱環境の両方に依存します. 例えば, 太陽環境負荷を考慮する場合, 太陽帯域と環境帯域の2つに分けるのが一般的ですが, 帯域はいくつでも考慮することができます.

上図に示されている波長の関数としての放射率の例. この材料は, 下図のように3つの帯域を使ってモデル化することができます.

左端または右端のスペクトル帯域での平均化アプローチについても説明します. これらの帯域の放射率を単純に平均するよりも, 予想される温度範囲に基づいた重み付けを導入する方が合理的です. 例えば, 放射が無視できる波長の放射率は無視します. 実際には, さまざまな材料が使用されるため, 波長帯を選択する際には, 解析の前段階としてかなりのエンジニアリング判断と近似が必要とされます.

波長依存の放射率を2帯域モデルに縮小. 上図では, 放射率は各帯域で単純に平均化されています. 下図では, 左帯域での非常に短い波長における材料放射率は考慮されていません.

また, 放射率が角度の関数として変化することも可能です. 理想的な黒体は全方向に同等に放射しますが, 実際の表面は方向依存性を持ちます. 通常は法線からの角度だけですが, 3D 空間でモデリングする場合は方位角に関しても依存する可能性があります.

放射率は等方性であるか, 角度に依存します.

つまり, 放射率は温度, 波長, 極角と方位角 \epsilon\left( T, \lambda, \theta, \phi\right) の関数である可能性があるのです. また, COMSOL Multiphysics® ソフトウェアの柔軟で解釈可能なインターフェースの一部として, 空間位置またはその他のモデル変数の関数としての依存性を追加で導入することができます. また, 実際の材料では, すべての波長と角度にわたる放射率の積分は常に 1 未満になることにもご注目ください.

次に, 代表的なケースを COMSOL ソフトウェア内でモデル化する方法を紹介します.

例: 部品の冷却

ここでは, 下図に示すような簡単な状況を例に考えてみましょう. 高温の材料が, 壁が 0 K の固定温度に保たれている丸いチャンバー内の中央に配置されています. 気体は存在しないので, 冷却はすべて輻射によるものとなります. 私たちは, 部品がどのくらい速く冷却されるかを計算し, チャンバー壁に入射する放射流束を観測したいと思います. ここでは, チャンバー壁を理想的な黒体と仮定して, 単位放射率を持つものとしてモデル化します. そして, 温度が 0 K にあるため, 壁は部品からの熱放射を完全に吸収することを意味します.

真空チャンバー内の高温の部品は, 放射熱伝達のみによって冷却されます.

まず始めに, 放射率が一定の最も単純なケースを考えてみます. このため, 高速熱アニーリングチュートリアルモデルで示したのと同様のアプローチで, 表面‐表面輻射による熱伝達モデルを設定しました. このインターフェースのデフォルト設定は, 単一の波長帯域を仮定し, 形態係数を計算するためにヘミキューブ法を使用します.

対称性を利用して, 構造体全体の 1/4 だけをモデル化し, 伝熱 (固体)インターフェースの適切な熱初期条件と境界条件を指定します (これは高温部分のドメイン内でのみ求解されます. 表面‐表面輻射インターフェースは, 部品の露出した (非対称の) 境界と, チャンバー壁で有効になります. チャンバー壁は, 表面拡散機能を用いて, 完全な吸収体を表す一定の放射率1を持つようにモデル化されています. また, 表面拡散機能で, 以下のスクリーンショットに示すように, モデル入力の設定で壁の温度を 0 K に固定します. つまり, チャンバー壁の温度を固定し, これによって放射熱流束を評価することができるのです.

チャンバー壁を定義する表面拡散機能.

次に, 高温の部品自体からの放射をモデル化していきましょう. まず, 以下のスクリーンショットに示すように, 表面拡散機能を使用して, サンプルの放射率を一定に指定します. この境界条件では, 境界の温度を定義するモデル入力の設定は, マルチフィジックス > 表面‐表面輻射による熱伝達機能で制御されます. つまり, >伝熱 (固体)インターフェースで計算された温度が表面温度を定義し, 表面‐表面輻射インターフェースで計算された熱流束が伝熱 (固体)インターフェースの境界流束に寄与します.

部品の放射率を一定に定義する表面拡散機能. モデル入力セクションは, 温度が伝熱 (固体)インターフェースから定義されることを反映しています.

次に, 放射率を温度の関数になるように変更するには, 以下のスクリーンショットに示すように, 温度変数に関する式を入力するのが最も簡単な方法です. また, 温度に依存する材料特性を定義することもできます.

温度依存の放射率を持つ表面拡散機能.

放射率を複数の波長帯の関数にするには, 放射の設定を変更し, 帯域を区切る波長を指定します. 今回は, 以下のスクリーンショットに示すように, 波長5 um で分割された2つの帯域のみを使用し, 各帯域に異なる一定の放射率を指定します.

複数のスペクトル帯域設定.

各帯域で指定された放射率.

最後に, 角度依存の放射率を考慮するために, 表面‐表面輻射の計算方法をヘミキューブ法からレイシューティング法に変更する必要があります. 以下のスクリーンショットでは, 放射モデルを１帯域モデルに切り替えています.

デフォルトのレイシューティング法の設定.

レイシューティング法を使用する場合, 不透明表面機能も使用可能です. この機能により, 表面全体に対して, 角度のみの関数である単一の指向性放射率関数を定義することができます. しかし, 表面の全放射率は, 表面放射率式を通じて, 温度, T, 位置, \mathbf{x}, またはその他の変数の関数とすることができます. 全放射率は, 指向性放射率関数と表面放射率式の和, つまり \epsilon_{tot} = \epsilon\left(\theta, \phi\right)+\epsilon\left(T, \mathbf{x}, …\right) です. 複数のスペクトル帯域を使用する場合, 異なる式や関数を使用することができます.

不透明表面機能の設定. 指向性放射率を定義する関数は, グローバル定義内で定義されています.

これらの異なるアプローチはすべて, 以下に示すように, 時間の経過とともに部品の冷却プロファイルがわずかに異なることになります. また, チャンバー壁から入射する放射束の観点から, 一定の放射率の場合と角度に依存する放射率の場合を比較することも興味深いです.

一定温度のチャンバー内の高温部品の時間経過に伴う温度減衰を, 異なる表面放射率モデルを用いて計算したもの.

一定の放射率の高温部品 (左) と指向性放射率の高温部品 (右) の比較. チャンバー壁の束がプロットされ, 放射の指向性が強調されています.

この例では, 温度が 0 K でチャンバー壁が完全な吸収体であるため, 部品に向かって熱放射が戻ってこないことが重要です. 放射熱伝達の理解を深めるには, 完全な吸収体でない表面に当たった熱放射がどうなるかを理解することも重要になってきます. 次回はこのテーマを取り上げますので, 乞うご期待!