表面プラズモンポラリトン (SPP) など, 表面に沿って伝播する, 閉じ込められている電磁波は, 光のナノスケール操作に応用できる可能性があるため, 研究で大きな関心を集めています. このブログでは, SPP の伝播および周波数波ベクトル分散関係を可視化するシミュレーションを設定する方法について説明します.
SPP の紹介
電磁気学の支配方程式, つまりマックスウェル方程式は単純に見えるかもしれませんが, その意味は非常に広範囲かつ奥深いものです. したがって, 伝播する電磁波はさまざまなよく知られた形態で存在する可能性があります. 平面波, 球面波, ガウシアンビーム, ベッセルビーム, エアリービーム, ボルテックスビームなどあまり知られていない形式の波もあります. 金属または誘電体の導波管内を伝播する導波管モードなど, 空間に閉じ込められて伝播する電磁波もあります.
さらに, 平面に限定される別の特殊なタイプの電磁波があります. このタイプの波は, 表面に対して接線方向に伝播し, 垂直方向に指数関数的に減衰します. その波長は, 同じ周波数の自由空間の波長と比較すると短いことがよくあります. したがって, このタイプの波は, 光子のナノスケール制御と操作のための潜在的な技術プラットフォームを提供し, これは光通信や情報処理から太陽エネルギーハーベスティングやデジタルディスプレイに至るまで, 多くの用途で望ましいものです. この波型の存在は金属と誘電体の界面で発見され, 現在では表面プラズモンポラリトン (SPP) として知られています. (プラズモンは, 金属内の電荷の集団振動を指します.) その発見以来, フォノン共鳴周波数に近い極性誘電体材料や励起子周波数に近い半導体材料など, 多くの材料系がこのタイプの表面波をサポートしていることがわかってきました. 対応する表面波は, それぞれ表面フォノンポラリトンおよび表面励起子ポラリトンと呼ばれます.
支持媒体や微視的な詳細に関係なく, さまざまなタイプの表面波の背後にある巨視的な物理学は似ています. 次のセクションでは, 誘電体と金属の界面間の SPP のモデル化に焦点を当てます. ただし, このブログで取り上げたモデリング技術は, いくつかの適切な修正を加えれば, 同様の方法で Sommerfeld-Zenneck 波や Dyakonov 波などの他の表面波にも適用できることに注意することが重要です.
簡単な SPP 分散の導出
SPP が何であるかを明確に理解するために, それをサポートする最も単純な系, つまりバルク金属と誘電体の界面を調べてみましょう. y=0 の xz 面にある金属と誘電体の界面を想像してください. 誘電体領域は y>0 で, 金属領域は y<0 です. xz 平面には優先方向がないため, 一般性を失うことなく, x 内を伝播する表面波に焦点を当てます. 伝播平面は, 伝播方向と表面法線によって広がる平面として定義されます. この場合, 伝播面は単に xy 面です. 一般に, 伝播する電磁波は, 電場または磁場が伝播面に垂直であるかどうかに応じて, s 偏光または p 偏光に分類できます. まず, p 偏光 (または TM 波) の場合を考えてみましょう.
y=0 における金属と誘電体の界面. この系は, x 方向に伝播し, y 方向に指数関数的に減衰する SPP を支持します.
x 方向に伝播し, y 方向に減衰する TM モード表面波に興味があるので, 次のように書くことができます. 誘電体中および金属中の電場と磁場次のように書けます.
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ここで, + および – の上付き文字はそれぞれ, y>0 および y<0 の数量を示します. k_{SPP} は SPP の複素波数ベクトルです. k_y^+ と k_y^- はどちらも正の実数で, 金属と誘電体の界面から離れる方向の電場の減衰を表します. 境界条件に基づいて, 電場の接線成分と磁場の接線成分, および電気変位場の垂直成分が, y=0 で金属と誘電体の境界を横切って連続に接続していることがわかります. したがって, E_x^+=E_x^-=E_x, H_z^+=H_z^-=H_z, および \varepsilon_dE_y^+=\varepsilon_mE_y^-=D_y となります. マックスウェル方程式から, \nabla \cdot \vec{D} = \rho_{ext} であることがわかります. 外部電荷がなく, y>0 と y<0 ではそれぞれ誘電率が一定であるため, \nabla \cdot \vec{E} = 0 は2つの領域で成り立つ必要があります. これを式と組み合わせると, 式2と4は,
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のようになります.
これは次のように簡単化されます.
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この関係から, 何故誘電体 Re(\varepsilon)>0, および金属, Re(\varepsilon)<0 の表面にだけ SPP が存在するかが分かります. 場を y 方向に減衰させるには, k_y^+ と k_y^- の両方は正でなければなりません. つまり, \varepsilon_d と \varepsilon_m は反対の符号を持つ必要があります. k_{SPP} の式を導出するには, ヘルムホルツ波動方程式 \nabla^2 \vec{E}-\frac{\varepsilon \mu}{c^2} \frac{\partial^2E}{\partial t^2}=0 を使用します. これは2つのマックスウェルの回転方程式から導出されます. 式2と4をヘルムホルツ方程式に代入すると
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が得られます. ここで k_0=\omega/c は自由空間波動ベクトルです. 最後に, 式7–9から, 次の SPP 波動ベクトルの式に到達します.
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k_{SPP} の実部は, \lambda_{SPP}=\frac{2\pi}{Re(k_{SPP})} によって SPP 波長に関連付けられます. 虚部は SPP の伝播損失を表します. 一般に, \varepsilon_d と \varepsilon_m は周波数に依存するため, k_{SPP} も周波数に依存します. k_{SPP} と周波数の関係は, 系内の SPP を特徴付けるために知りたいことがよくあります.
上記の議論は純粋に SPP が TM 波であるという仮定に基づいていることに注意してください. TE 波の可能性については, 単純に同じ導出手順に従い, すべての場の振幅がゼロでなければならないことを示すことができます. これは, SPP が TM 波としてのみ存在することを意味し, これも SPP の特徴です.
SPP の伝播と分散のシミュレーション
このセクションでは, COMSOL Multiphysics® ソフトウェアのシミュレーションおよびモデリング機能を使用して, 上記の導出による物理的結果を可視化する方法について説明します. SPP は空間的に閉じ込められた伝播波であるため, 誘電体スラブ導波路チュートリアルモデルなど, 他の導波路モデリングの例からインスピレーションを受けることができます. モデルを正しく設定したことを確認するための妥当性チェックとして, 銀 (金属) と空気 (誘電体) の界面で SPP をシミュレートします. 銀の誘電関数は, 約9.6 eV のプラズマ周波数値をもつ Drude モデルによってよく説明されます. このモデルでは, ソフトウェアの組込材料ライブラリの銀の材料特性を使用することができて便利です. 数値ポートがモデルの左右の境界に課されます. 励起がオンになっている左側のポートは SPP を起動しますが, 励起がオフになっている右側のポートは反射せずに SPP を吸収します. 両方のポートのモード場を取得するには, 2つの境界モード解析スタディステップと周波数領域スタディステップをそれぞれ追加します.
SPP の励起と励起無しのために, 2つのポートがそれぞれ左側と右側の境界に課されます. ポートのモード場を取得するには, 2つの境界モード解析スタディステップが周波数領域スタディステップの前に追加されます.
シミュレーションを実行すると, SPP の伝播を簡単に可視化できます. 以下のアニメーションは, 左から右に, 3.54 eV, 3.1 eV, 2.07 eV の光子エネルギーにおける SPP を示しています. 予想どおり, 場は x 方向に伝播し, y 方向に減衰します. 金属側は吸収が強いため, 減衰が速くなります. 注目すべき点は, SPP 波長 (k_{SPP} の実部) と伝播損失 (k_{SPP} の虚部) は光子のエネルギーまたは周波数によって大きく変化するということです. 周波数と k_{SPP} の間の定量的な関係を把握するために, y 軸として変数周波数を使用し, ewfd.beta_1 を x 軸として使用します (以下のアニメーションでは円のマーカーで示されています).
ewfd.beta_1 は複素量ですが, プロットする場合, デフォルトでは実部のみが考慮されます. SPP を研究する場合, Q 値と呼ばれる性能指数を, k_{SPP} の実部と虚部の比として定義するのが通例です. k_{SPP} の虚部が小さい (同等に Q 値が大きい) 場合, SPP は減衰する前に波長に対して長い距離を伝播できます. バイオセンサーや光スイッチなどの実際の用途には, 通常, より大きな Q 値が望ましいです. Q 値は, 分散曲線の色表現として簡単にプロットできます. ここでは, 高い Q 値を表すために明るい色を選択し, 低い Q 値を表すために暗い色を選択しました. さらに, f=ck_0 を表す1本の破線 (ライトラインと呼ばれることが多い) が追加されます. ライトラインは, 自由空間光子の周波数 – 波数ベクトル分散関係です. 最後に, 式9からの解析式が図の実線でプロットされています. アニメーションからわかるように, シミュレートされた分散と解析式は良好な一致を示しています.
3.54 eV, 3.1 eV, および2.07 eV の光子エネルギーでの SPP 伝播のシミュレーション. 矢印は電場の方向と強さを示します.
以下の分散プロットは, 貴金属中の SPP 分散を非常によく表しています. このプロットは, SPP の特性についての洞察を得るのに役立ちます. 最も重要なのは, SPP の分散曲線が常にライトラインの右側にあることです. これが意味するのは, SPP の波長は常に自由空間光の波長よりも小さいということです. これが, より高い電界集中を達成するために光の波長を圧縮する方法として SPP を使用できる理由です. さらに, 自由空間光の波数ベクトルと SPP の波数ベクトル間の不一致は, 金属表面に光を当てるだけでは SPP を励起することができず, 波数ベクトルを一致させるための何らかの外部メカニズムが必要であることを意味します. SPP の励起は, 多くの場合, プリズムからの内部全反射, 回折格子からの回折, 散乱体の散乱, または電子ビームの通過を使用して行われます. これらの技術を使用する目的は, 電磁場の波数ベクトルが同じ周波数で SPP の波数ベクトルと一致するように電磁場を準備することです.
銀と空気の界面における SPP の周波数波ベクトル分散をシミュレートしたプロット. 予想通り, シミュレーション結果 (丸) は解析計算 (実線) と一致しています. 自由空間光の分散, または光線は破線で表されます. 色は SPP の Q 値を表します.
金属薄膜中の SPP
バルク金属と誘電体界面での SPP のシミュレーションは SPP の伝播と分散への有益な入門として役立ちますが, これはかなり単純で物理的には興味のない例です. この系では, 誘電体層で覆われた金属薄膜のさらに興味深い事例を取り上げます. この種の系では, 上面と底面の両方が SPP を支持します. 金属膜が十分に薄い場合, 上面の SPP と下面の SPP 間の結合によりモードハイブリダイゼーションが発生します. この結果, 対称モードと非対称モードが形成されます. この状況における物理現象は, 結合された機械的調和振動子の物理現象に似ています. この特定のケースでは, 屈折率2の4 nm の誘電体層に囲まれた12 nm のアルミニウム薄膜をモデル化します. 境界モード解析スタディステップを使用して, 分散曲線内に2つの SPP 分岐を見つけました. より大きな Q 値を持つ上のブランチは対称モードであり, より小さな Q 値を持つ下のブランチは非対称モードです.
2つの誘電体膜の間にあるアルミ薄膜上での SPP 伝播のシミュレート. アルミ薄膜の上面と下面での SPP のハイブリッド形成により, 対称モード (左) と非対称モード (右) が形成されます.
2つの誘電体薄膜の間に挟まれたアルミ薄膜上での SPP の分散のシミュレーション. 対称 (上部ブランチ) モードと非対称 (下部ブランチ) モードは2つのブランチとして表示されます.
ここでは示していませんが, 各界面での境界条件を慎重に一致させることで, この種の系における SPP 分散を解析的に導き出すことができます. 系のジオメトリが複雑になるにつれて, 導出はすぐに面倒になります. SPP のシミュレーションに COMSOL® を使用する利点は, その柔軟性にあり, 幾何学的構成がどれほど複雑であっても, SPP の分散をソフトウェアで計算できることです.
新しい2D材料中の SPP
エレクトロニクス業界が小型化に向かうにつれて, 2D材料は非常に人気が高まっています. 前回のブログでは, 高周波電磁気で一種の2D材料 (グラフェン) をモデル化する方法を紹介しました. グラフェンなどの2D材料も SPP をサポートできることがわかりました. 結局のところ, 導電性の高いグラフェンは金属のように動作します. 主な違いは, 貴金属は通常, 可視領域または紫外領域のプラズマ周波数を持っているということです. これは, 金属が光周波数で SPP を支持していることを意味します. 一方, グラフェンは赤外線領域で SPP をサポートしており, 赤外線収集やメタマテリアルなどの特定の用途にとってユニークで有利な材料となっています. グラフェンのもう1つの魅力的な特性は, その導電性が化学ドーピングや電気的調整によって変更できることです. これにより, 従来の金属では達成できなかった SPP の調整可能性が広がります.
SPP の伝播と分散のシミュレーションチュートリアルモデルを使用すると, SiO2 基板上に堆積されたグラフェン内の SPP を解析することができます. 以下のプロットは, グラフェンのフェルミエネルギーを0.2 eV (左) と0.5 eV (右) に設定した場合の分散曲線を示しています. グラフェンの導電性の違いにより, 明らかな違いが観察されます. 金属中の SPP 分散と比較すると, ここでのライトラインが非常に急勾配であることがわかります. それは y 軸とほぼ一致します. これは, SPP 波数ベクトルが自由空間光子の波数ベクトルよりもはるかに大きいためです. 言い換えれば, SPP 波長ははるかに短いということです. 以下のアニメーションでは, フェルミエネルギーが0.2 eV の場合の29 THz での SPP 伝播を確認できます. 29 THz では, 自由空間波長は約10 \mu m ですが, SPP 波長は100 nm 未満です. 驚異の波長圧縮を実現! ただし, この場合の Q 値はそれほど高くないことに注意する必要があります. SPP は, わずか数百ナノメートルを伝播した後, 完全に減衰します. より高い Q 値は, グラフェンの結晶品質を向上させるか, 極低温まで冷却することによって達成できます.
フェルミエネルギー0.2 eV (左) および0.5 eV (右) のグラフェン SPP の分散曲線.
29 THz でのグラフェン SPP の伝播. グラフェンのフェルミエネルギーは0.2 eV.
一見すると, 分散プロットの33 THz 付近の周波数範囲に SPP がないのは奇妙に思えるかもしれません. これは, 基板材料である SiO2 の誘電率がフォノン共鳴の結果として負になるためです. このシナリオは, シミュレーション周波数範囲で SiO2 誘電率の実部をプロットすることで確認できます.
赤外線周波数における SiO2 誘電率の実部. フォノン共鳴により, グラフェン SPP が支持されていない33 THz 付近で誘電率が負になります.
このブログの前半で, SPP を励起するために使用できるさまざまな実験手法について簡単に説明しました. シミュレーションは, SPP を励起させる別の方法を提供します. 1つの例は, 電気点双極子源を使用することです. SPP は波数ベクトルの不一致のため, 自由空間光では励起できないことを思い出してください. ただし, 点双極子によって生成される近接場には, SPP の励起を可能にする大きな波数ベクトルを持つ成分が含まれています. このようなシミュレーションを実行し, 場の分布から SPP 波長を抽出することによって, SPP 分散をマッピングすることもできます. このタイプのシミュレーションは下の図で強調表示されており, 明確な場の振動が観察できます.
y 方向に配向された電気点双極子によって励起されたグラフェン SPP.
終わりに
前述したように, SPP は多くの特別なクラスの表面波のうちの1つにすぎません. 電磁表面波は依然として集中的な研究が行われており, その観察可能な現象はこのブログの範囲を超えています. たとえば, MoO3 などの一部の異方性材料は, 一方向性表面フォノンポラリトンを支持できます. これは, 特定の周波数では面内の1方向の誘電率のみが負になるためです. 下のアニメーションでは, SiO2 基板上の MoO3 スラブが電気点双極子によって励起されるケースを見ることができます. 表面フォノンポラリトンは, 例えばグラフェン内の SPP に特有の蝶パターンで伝播し, 発射された SPP は同位的に伝播します.
電気点双極子によって励起された MoO3 スラブにおける異方性表面フォノンポラリトン伝播.
電気点双極子ノードや境界モード解析スタディなどの COMSOL Multiphysics® の機能を利用することで, さまざまな方法で電磁表面波をモデル化し, 関連する豊かな現象を解析することができます.
次のステップ
下のボタンをクリックして, アプリケーションギャラリに移動して, SPP の伝播と分散のシミュレーションチュートリアルモデルを自分で試してみてください:
参考文献
- S. A. Maier, Plasmonics: fundamentals and applications. Springer, 2007.
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