形状最適化は, さまざまな物理分野の設計を改善するために使用できます. このブログでは, 波動光学における形状の最適化に焦点を当てます. COMSOL Multiphysics® ソフトウェアの形状最適化機能について説明し, これらの機能を波動光学アプリケーションに使用すると何が達成できるかを示します.
これは, 電磁気学の形状最適化に関する2部構成シリーズの最初のブログです. 2番目の投稿では, RF アプリケーションの形状の最適化に焦点を当てます. ここでパート2をお読みください.
パラメーター最適化と形状最適化
形状最適化は, メッシュを変形することによってジオメトリの変更が実現されるため, 勾配ベースの最適化と互換性があります. これには, 要素の品質が低下するという代償が伴い, 特に3Dにおいてジオメトリの変更量が制限される可能性があります. 以下に示すように, ジオメトリの変更は再メッシュによって実現されるため, パラメーター最適化は勾配ベースの最適化とは互換性がありません.
パラメーター最適化には再メッシュが含まれますが, 形状最適化ではメッシュが変形されます.
原則として, パラメーター最適化は形状最適化よりも汎用性の高い技術ですが, 実際には, 勾配ベースの最適化との互換性がないため, この方法は遅くなります. これにより, 最適化変数の数が制限され, 設計の自由度が制限されます. このブログシリーズで紹介されている例は, パラメーター最適化を使用して求解できます. COMSOL® はこれをサポートしていますが, 例が比較的単純であるにもかかわらず, この方法の計算コストは非常に高くなります. したがって, 形状最適化がパラメーター最適化よりも適している問題は広範囲に渡ります.
COMSOL Multiphysics® には, 形状最適化問題の設定を簡素化する一連の組み込み機能が含まれています. 多項式シェルと自由形状シェル機能は, 通常は構造力学で, シェル専用に作られています. ただし, ほとんどの問題は (シェルではなく) ドメイン上で定義されます. 多項式境界と自由形状境界機能を使用して, これらのドメインに隣接する境界を最適化できます. 名前が示すように, 多項式による正則化または自由偏微分方程式 (PDE) ベースのアプローチのいずれかを選択できます. 変換機能は, 形状の変更を移動, 拡大縮小, 回転に制限します. この機能はドメインと境界で使用できます. この機能は境界の曲率や点の角度を変更する傾向がありますが, 一次多項式または変換機能を使用することで直線を維持することが可能です. 最後に, 対称/ローラー機能を使用すると, 以下に示すように, エッジを平面に制限したり, ポイントを2Dの直線に制限したりできます.
ターゲット境界 (青) に近づくように正方形の上部境界を変更する問題について, 4つの異なるタイプの形状最適化を示します. 最初の図の初期デザインを最適化するために, 変換機能を対称/ローラー機能と組み合わせて, y 方向の移動を可能にします. 2番目の図は, 回転も有効になっている変換を示しています. これには, 対称/ローラー機能ではなく, 一次多項式の使用が必要です. 最後の2つの例は, それぞれ多項式アプローチと自由形状アプローチを示していますが, この2つにほとんど違いはありません. ただし, これらの例では左境界に関連付けられた機能がないため, 左上の点が固定されていることに注意してください.
変換機能は他の機能に比べて設計の自由度が低くなりますが, 最適化された設計を CAD ジオメトリに変換するという点では利点があります. このブログシリーズでは2Dでの形状の最適化に焦点を当てますが, すべての機能は3Dでも使用できます. 次のセクションでは, 波動光学の2つの例を示します.
例1: フィルタリング
最初の例では, 曲がりのあるフォトニック結晶の設計を検討します. 結晶は GaAs から作られた柱で構成されており, 柱の位置を変更できるように変換機能が使用されています. 目的は, 一方の波長 (1 μm) では高い透過率を達成し, もう一方の波長 (1.3 μm) では低い透過率を達成することです. したがって, 次の式が最大化されます:
最適化されたジオメトリを以下に示しますが, 問題の性質が直感的ではないため, 動作メカニズムを理解するのは困難です. ただし, 出力境界でのパワーを見ると, 最適化ではより大きな波長でのパワーの最小化が強調されていることが明確にわかります. そのため, 目的関数を最大最小目的で表現する方がよいかもしれません. これについては次の例で説明します.
左: 初期デザインがグレーで描かれ, 最適化されたデザインが黒で描かれたジオメトリ. 右: 出力パワーは波長の関数としてプロットされており, 最適化では2つの波長が考慮されます (点で表示).
例2: デマルチプレクサー
2番目の例でもフォトニック結晶を考慮しますが, 今回はデマルチプレクサーを目的としています. 他の波長をブロックしながら, 2つの異なる波長 (\lambda_1 と \lambda_2) を2つの異なる出力ポートにルーティングするデバイスを設計したいと考えています. ブロッキングの目的関数 \phi_B とルーティングの目的関数 \phi_R は次のように表現できます:
ここで, P_\mathrm{min} と P_\mathrm{max} は, それぞれルーティングとブロッキングの最小電力と最大電力です. ルーティング目的関数の定義は, 信号が目的の出力ポートに向けて誘導されるように, \lambda = \lambda_1 または \lambda = \lambda_2 として評価されるかどうかに依存することに注意してください. 関連する波長で所望のパワーが達成される場合, 両方の目的関数は-1に等しくなりますが, 所望のパワーが達成されない場合はより高い値が得られるため, 目的関数は最小化する必要があります. 目的関数は最大最小定式化で結合されます. これは, 目的関数が複数の目的関数の最大値として取得されることを意味します. いくつかの対物レンズは, 異なる波長で評価されるためのみ異なりますが, 他の対物レンズは, デバイスの理想的な動作が波長に依存するため, したがって対物レンズの定義も波長に依存するため異なります. 最終的な目的関数は次のように表現されます:
波長が \Delta \lambda / 2 以内の場合, ルーティング目的関数が使用されます. \Delta \lambda / 2 内にない場合は, ブロッキング目的関数が使用されます.
最初の例と同様に, 変換機能を使用してフォトニック結晶内の柱の位置を最適化します. 以下のアニメーションは, 設計と P^1_\mathrm{out} および P_\mathrm{out}^2 の最適化を示しています. \lambda_1 と \lambda_2 の場合の電場も示されていますが, 最適化の反復ごとに合計14の波長が評価されます.
電場の z 成分が2つの波長に対してプロットされ, 出力パワーがポートに示されます.
この例では, P_\mathrm{min}=5P_\mathrm{max} を選択しました. これにより, 以下に示すスペクトルが生じますが, パラメーターを変更することでブロックまたはルーティングの優先順位を付けることができます.
出力ポートパワーは, 最適化で使用される波長に対してプロットされます (点). これらは, 変形した構成で再メッシュした後のポート電力のグラフと比較されます.
再メッシュの前後でポートパワー間に小さな偏差がありますが, これは一部の波長のみであり, 最適化の結果は数値効果を利用しているようには見えません. さらに, 目的関数は第一ポートでの高出力のみを必要としているにもかかわらず, 第二ポートでは小さな出力しか得られないことがわかります. 最後に, すべての最適化反復で, すべての波長に対するすべてのピラーの位置の感度が考慮されることは注目に値します. したがって, 反復ごとに, 大量の関連性の高い情報が最適化ソルバーに提供されます. したがって, わずか50回の反復で234個の制御変数の値を見つけることができます.
最適化に使用する波長の選択には試行錯誤の要素があり, 最後の例では31個の波長を使用しているため, 計算コストが高くなります. クラスターを使用すると計算時間を短縮できます. これについては, このブログシリーズのパート2で実証し, RF 周波数スペクトルの最適化問題について説明します. 示されているすべての例では, 最大最小定式化を変換および多項式境界機能と組み合わせて使用します.
次のステップ
このブログで紹介したモデルをダウンロードして, その設定と結果をより深く理解してください:
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