古典的な灰色体輻射理論を理解する

最初の人工光源は熱放射を使用していましたが, その効果は量子力学の発見まで完全には理解されていませんでした. 今日では, それはよく知られた物理学の概念です. このブログでは, いわゆる灰色体の表面間輻射理論, COMSOL Multiphysics^® ソフトウェアでの実装方法, およびこの理論の興味深い使用法について説明します.

古典的熱輻射理論

ろうそくの光は最初の人工光源でした. ずっと後になって, ガス灯が登場しました. そして 19世紀に, 最初の白熱灯が発明されました. 140 年後, 白熱灯は LED に置き換えられることになります.

ろうそく, ガス灯, 白熱灯はすべて熱輻射を利用しています. これは, 熱伝導媒体が存在しなくても機能する唯一の熱伝達現象です. この特別な特性がなければ, 私たちは地球上に住むことができません. 太陽エネルギーは, このメカニズムによって真空を通して注ぎ込まれるからです.

白熱電球.

物理学における最も興味深い話の 1 つは, マックス プランクが黒体輻射のスペクトル分布の公式 (現在はプランク分布と呼ばれています) を発見したときの話です. 黒体は, 入射電磁輻射線をすべて吸収する理想的な物体です. 同時に, 最大の熱輻射を放出する物体でもあります.

黒体理論の発見により, 量子力学への扉が開かれました. プランクの研究により, ステファン・ボルツマンの法則と呼ばれる平衡状態の温度Tで黒体からどれだけの電力が得られるかが分かりました：

 
ここで \sigma \simeq 5.67 \times 10^{-8} \; \; \; (W/m^2 \cdot K^4) はステファン・ボルツマン定数で, n は媒体の屈折率.

ここで, 灰色体と呼ばれる, より実際的な物体について考えます. 灰色体は不完全な黒体です. つまり, 入射電磁輻射線を部分的に吸収する物体です. 同じ温度における灰色体の熱輻射と黒体輻射の比は, 灰色体の放射率と呼ばれます.

黒体の放射率は 1 ですが, 灰色体の放射率は 0 より大きく 1 より小さい値を取ります. 放射率は, 放射面の形状, その物理的特性, および波長の関数です. それでは, 特定の構造から放射率はどのように決定されるのでしょうか?

簡単にするために, このセクション全体を通じて, 輻射線のスペクトル依存性を考慮しない拡散灰色面を考慮します. 次の理論は, 古典的な灰色体輻射理論の概要を説明する Gouffé の論文 (参考文献 1) に基づいています. 数学は中学校や高校で学ぶレベルのものかもしれませんが, 物理的な概念はもう少し複雑です. Gouffé の論文は, 出版当時に多くの研究者によって引用されました (参考文献 7). このブログでは, 完全な説明を提供するために, 元の論文に欠けているものを含めるように努めます.

まず最初に, 用語と規約を定義しましょう. このブログで反射率と吸収率について言及する場合, ”材料”の物理量と”見かけの”物理量を区別する必要があります. これは, 熱輻射について学ぶ際の混乱を避けるために非常に重要です. 灰色体は通常, その表面に特定の（小さな）構造を持っているため, 遠方から見た”見かけ”の物理量は材料の物理量とは異なります. たとえば, 粗い表面の見かけの反射率は, その材料の反射率よりも常に低くなります.

私たちの目標は, 特定の材料の反射率と構造の形状から見かけの放射率を計算することです. ここでは, 表記に”_0”を付加することで, 物質の物理量と”見かけ”の物理量を区別します. それ以外の場合は, 一般的な量について話していると理解されます. 用語の命名法は次のとおりです:

• 材料反射率, \rho_0
• 材料吸収率, \alpha_0
• 材料放射率, \varepsilon_0
• 見かけの反射率, \rho
• 見かけの吸収率, \alpha
• 見かけの放射率, \varepsilon
• 空洞の内部面積, S
• 開口面積, A
• 視野角, \theta
• 視野因子 (規格化立体角), F
• 視野因子 (面積比), G

エネルギー保存則から, 不透明材料の反射率 \rho と吸収率 \alpha の間には次の関係があります:

 
キルヒホッフの法則は, 熱力学的平衡における物質の放射率 \varepsilon は吸収率 \alpha に等しいと述べています; つまり,

 
上記の 2 つの関係から, 反射率から放射率が得られます; すなわち,

です.

次の図に示すような単一の表面構造を考えます. 構造は何でも構いませんが, このブログでは, 空洞の底部から上方に L の距離に, 面積 A (半径 R の円) の開口部をもつ, 球形の空洞を考えます. 材料の反射率 \rho_0 は空洞の内面全体で均一であり, 反射はランバートの法則に従って発生すると仮定します. つまり, 反射の強度は I_r = \rho_0 \cos \theta です. 図の通り, \theta は視野角です. 単位エネルギーを持つ入射光からどれだけの見かけの反射が得られるかを計算したいと思います.

見かけの反射率を計算するための表面構造.

１次近似として, 空洞の底からの反射は次のようになります. :

ここで F は視野因子と呼ばれています.

Gouffé の論文では, 視野因子が空洞表面全体で均一であると仮定されていることに注意してください. COMSOL^® ソフトウェアでは, 位置の関数として, 常に正しい値を算出します. (したがって, 放射率を計算するには積分が必要です. )

この場合, 視野因子は, 最初の反射点から開口部までの正規化された立体角です. 立体角 \Omega は次のように計算されます:

半球の合計立体角は 2\pi ではなく, \pi であることに注意してください. これは, ランバート係数 \cos \theta によるものです.

その結果, 視野因子 F は

となります.

この近似では, 見かけの反射率は

 
となります. これから, 放射率は次のように導かれます:

 
大まかに言うと, 開口部が小さいほど, 視野因子により空洞は黒体になります.

次に, 近似を改善しましょう. 最初の反射 (すでに計算済み) の後, 残りは空洞材料によって吸収されるか, さらなる反射に寄与します. 物質の吸収 \alpha_0 は, エネルギー保存から \alpha_0=1-\rho_0 となります. その後の反射のために残されたエネルギーは:

となります.

ここで, さらなる反射が均一に起こると再び仮定すると, 2 回目の反射で空洞から出る反射は, 上記の量に材料の反射率と, 面積比 G= A/S で定義される別の視野因子をもう一度乗算したものになるはずです. ここで, S は, 開口面積 A を含む空洞の面積です. 2 回目の反射の見かけの反射率は次のようになります:

 
1 次近似と同様に, 2 次近似の見かけの放射率は次のとおりです:

 
この近似に対して, 追加の項を使用すると, 見かけの放射率がより正確になるはずです.

最後に, 次の収束無限級数を計算することで, すべての反射を考慮に入れることができます:

 
球の場合, F=G であることがわかり, この結果は次のようになります.

 
F および G を幾何パラメーター R および L で陽に表してみましょう. ジオメトリから, 簡単に \sin \theta = R/\sqrt{L^2+R^2} であることが分かります. これから, F は次のように書き替えることができます.

次に, 開口面積 A は

 
のように書けます. ここで, r は球の半径で, \varphi は, 球の中心と交差し, 開口部の周囲に平行な平面間の角度です.

ジオメトリから, R^2+(L-r)^2= r^2 という関係があり, それから r=(R^ 2+L^2)/(2L) と, \cos \varphi = R/rが導かれます. これらの関係を用いると, 開口領域 A は次のように書き換えることができます.

 
球の総面積は S=4\pi r^2 であるため, 視野因子 G は次のように与えられます.

ここで, F=G が示されます.

COMSOL^® ソフトウェアには視野因子 F はなく, 純粋に幾何学的な量である視野因子 G のみがあることに注意してください.

COMSOL Multiphysics^® シミュレーションと理論

ここまで, 古典的な灰色体の理論を学びました. ここからは最終目標である, 開口部のある球殻で構成される灰色体の見かけの放射率を伝熱 (表面間輻射) インターフェースを使用して計算してみましょう. 次に, 計算された開口部サイズの放射率依存性を近似式と比較します.

主な結果に移る前に, 一つ確認しておきたいことがあります. COMSOL Multiphysics^® では, radopu 演算子と radopd 演算子を使用して 視野因子を計算 (上記の理論 のG に対応する位置の関数) できます. これらの演算子を使用して取得される量は純粋に幾何学的であるため, この演算子を使用するためにスタディを実行する必要はありません. ジオメトリを変更する場合は, 演算子を使用する前に解を更新するだけで済みます.

このモデルは開口空洞であるため, 輻射面は 1 つだけです. したがって, COMSOL Multiphysics^® は空洞表面自体の視野因子のみを計算すればよいことになります. これを自己視野因子と呼びます. これまで議論してきた, 空洞表面上の点から空洞の外側を見たときの視野因子Gは外部視野因子と呼ぶことができます. 視野因子 G は, １から自己視野因子を引くことで計算できます. つまり,

1-intop1(comp1.ht.radopu(1,0))/intop1(1) です.

前述したように, 視野因子は一般に位置に依存しており, COMSOL^® ソフトウェアの視野因子も同様です. 空洞表面上のすべての点からの寄与を計算するには, 視野因子を位置の関数として積分する必要があります. 演算子 intop1 は, 空洞表面で定義された積分演算子です. 次の図は, 計算結果を古典的な視野因子理論と比較しており, 非常によく一致していることを示しています.

外部視野因子に関する古典理論と COMSOL Multiphysics^® の radopu 演算子計算との比較.

それでは, 設定に移りましょう. 表面間輻射を計算するには, 球の内部表面の表面間輻射フィジックスインターフェースと拡散表面ノードを追加する必要があります. 伝達 (表面間輻射) マルチフィジックスカップリングノードを追加する必要があります (下記を参照). COMSOL Multiphysics^® は, 解析的な式が使用されるようなジオメトリが軸対称である場合を除き, 各メッシュ ノードに対して表面積分を実行することによって視野因子を計算します. わかりやすくするために, 外部輻射は含めていません; つまり, T_{\rm amb}=0 です. T_0 = 2500 K の温度 境界条件を球殻の外側境界に設定します. 違いをより簡単に確認するために, 材料の放射率は 0.5 に設定します.

拡散表面ノードの設定.

次のプロットは, さまざまな開口半径に対して計算された外部視野因子, ラジオシティ, および温度を示しています. Gouffé の論文に従って, ジオメトリのアスペクト比は L/R で定義されます. ここで, R は開口部の半径, L は空洞の高さで, スイープパラメーターとして使用されます.

L/R の関数としての外部視野因子, ラジオシティ, 温度を表す計算結果.

これらの結果は, 開口部のサイズが小さいほど, 空洞からの熱輻射が多くなり, 表面温度が高くなるということを定性的に示唆しています.

ステファン・ボルツマンの法則を使って, 計算されたラジオシティの結果から見かけの放射率を計算することができます. 温度 T_0 における黒体のラジオシティは \sigma T_0^4 です. 計算されたラジオシティをこの数値で割ると, 灰色体の球状空洞の見かけの放射率 intop1(ht.J)/intop1(1)/(sigma_const*T0^4)が得られます. この結果を, これまで議論してきたさまざまな理論と比較してみましょう.

COMSOL Multiphysics^® の結果と, 球状空洞の見かけの放射率に関するさまざまな理論的近似値との比較.

シアンの線は１次近似を示していますが, これは放射率の上昇を引き起こす反射量を過小評価しており, 不正確です. 2 次近似では明らかに精度が向上しますが, それでも十分ではありません. 無限級数近似のプロット (オレンジ色の線) では, はるかに優れた結果が得られますが, それでも COMSOL Multiphysics^® の結果にはそれほど近くありません.

この矛盾の理由は, Goufféの論文の最後の部分で述べられています. 前の図で気づいた読者もいるかもしれませんが, 外側の境界温度が同じ 2500 K であるにもかかわらず, 表面温度は形状ごとに異なります. これは放射冷却と呼ばれる現象です. 有限の熱伝導率を持つ実際の材料で発生するこの効果がまだ考慮されていなかったのです. この効果は開口面積に応じて球殻温度の内面の温度を変化させます. したがって, すべての開口面積について同じ温度での放射率を計算するには, 温度を補正する必要があります.

補正係数は, ステファン・ボルツマンの法則により, 温度比の 4 乗になります. つまり, (maxop1(T))^4/T0^4 です. maxop1 は, 空洞表面上で定義され, 表面上の最大値を見つける演算子です. 最後に, この補正により, 赤い曲線が最も正確な理論的予測となり, COMSOL Multiphysics^® の結果 (青い線) とよく一致します.

COMSOL Multiphysics^® ソフトウェアを使用した効率的な白熱灯の設計

白熱灯の光源は, 螺旋タングステンフィラメントによって作成されます. タングステンの材料放射率は, 波長 0.467 um の場合, 2500 K で 0.462 です (参考資料 2). 過去に, タングステンフィラメントの表面にいくつかの微細構造を作製すれば, より効率的な白熱電球を設計できると提案した研究者がいました. これは本当です. 先ほど学んだように, 黒体フィラメントと呼ぶことができる非常に小さな開口部を持つ空洞がある場合, 見かけの放射率は 1 に近くなる可能性があります. さらに, 研究 (参考文献 3–4, 8–9) では, 最大開口径が 0.78 um の約半分である場合, 0.78 um を超える波長の赤外線は導波路のカットオフ効果により抑制される可能性があります. そうすれば, 可視光の効率が大幅に向上する可能性があります.

タングステンの溶融温度未満の熱輻射はほとんどが熱に浪費される赤外線で構成されているので, これは放射率の向上をさらに上回る効果になる可能性があります. 本当に赤外線をカットできたら素晴らしいですね.

赤外線抑制黒体フィラメントを採用した”夢”の白熱電球. Wikimedia Commons による公知の背景画像.

残念ながら, この ”夢のランプ” はさまざまな理由から実現できません.

まず, 表面が ”すべて” 穴で構成されることは不可能です. 低い視野因子, つまり穴のサイズよりも小さい開口面積で穴を作成しようとすると, 表面を開口部で密に埋めることができません. つまり, 表面には, 赤外線を放射する開口部間の平らな領域が存在する必要があるのです. あるいは, 深い穴をあけて周囲の視野因子を減らし, 各穴を隣接する穴にできるだけ近づけることはできます. ただし, 深い穴を加工することは簡単ではありません.

また, 穴のある表面の表面エネルギーは平面の場合よりも高くなります. したがって, 穴のある表面は, バルク溶融温度よりも低い温度で溶融する傾向があります.

第三に, 螺旋フィラメントは 3D 構造であるため, 穴を開けるのが非常に困難です. 平らなリボンフィラメントであれば, 2D であるため, 穴を開けるのは簡単ですが, 平らなフィラメントは, 同じ温度を達成するためにより多くの電流を必要とするため, 螺旋フィラメントよりも多くの電流が必要となるため, 電気的には不便です (現在のインフラストラクチャーでは, より高い電圧とより低い電流が便利です).

終わりに

灰白体放射理論はずっと前に開発されましたが, 理論はまだ十分に体系化されています. 解析的な視野因子の公式を載せた多くの資料があります (参考文献 5. ここでは”形態係数”とも呼ばれることに注意してください). この理論は実験によって証明されており, 現在でも多くの実世界のアプリケーションに適用されていますが, 理解するのが難しすぎるように思えるかもしれません. このブログでは, 最も単純な例の理論を学び, COMSOL Multiphysics^® で非常に成功したベンチマーク結果を確認しました. 伝熱 (表面間輻射)インターフェースは, 複雑な輻射計算を容易にする信頼できるツールです.

特殊な視野因子を作成することで, より興味深い白熱電球を考案できます. 平らなリボンフィラメントに小さな周期的な溝を作ると, ”指向性”白熱灯が得られます. 通常, フィラメントは全方向に光を放射しますが, この特殊なフィラメントは特定の方向のみを照射します (参考 6). シミュレーションを使用して, 灰色体輻射理論のさらに多くのアイデアや応用を探索することができます.

次のステップ

次のボタンをクリックして, 灰色体モデルを実際に試してみてください. アプリケーションギャラリに移動します. そこで, 関連する MPH ファイルをダウンロードできます.

参考文献

1. A. Gouffé, “Corrections d’ouverture des corps-noirs artificiels compte tenu des diffusions multiples internes (Corrections of emissivity for the artificial black-body considering multiple internal diffusions)” (in French), Revue d’Optique, t. 24, no. 1–3, 1945.
2. C.J. Smithells, Tungsten, Chapman & Hall, Ltd., 1926.
3. J.F. Waymouth, Proceedings of LS-5, 1989.
4. J.F. Waymouth, J. Illum. Engng. Inst. Jpn., 74, 12, pp. 800–805, 1990.
5. J.R. Howell, “A Catalog of Radiation Heat Transfer Configuration Factors”, University of Texas at Austin.
6. W.Z. Black, “Radiative heat transfer characteristics of specially prepared V-groove cavities”, PhD Thesis to Purdue University, 1968.
7. Precision Measurement and Calibration, Radiometry and Photometry (Vol. 7), U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards.
8. M. Sugimoto, T. Fujioka, T. Inoue, H. Fukushima, Y. Mizuyama, S. Ukegawa, T. Matsushima, and M. Toho, “The Infrared Suppression in the Incandescent Light from a Surface with Submicron Holes”, Journal of Light & Visual Environment, Vol. 18, No. 2 (1994).
9. T. Kondo, S. Hasegawa, T. Yanagishita, N. Kimura, T. Toyonaga, and H. Masuda, “Control of thermal radiation in metal hole array structures formed by anisotropic anodic etching of Al”, Optics Express Vol. 26 No. 21 (2018).