レーザーなどのコリメート光が半透明媒体に入射すると, 吸収と散乱の両方の現象が発生します. つまり, 入射光は熱エネルギーに変換され, 方向を変えられます. 特定の仮定のもと, COMSOL Multiphysics® ソフトウェアでは, これらの現象を拡散近似を用いてモデル化できます. このモデリング手法は, 生体組織のレーザー加熱や材料加工に応用できます. 詳しく見ていきましょう!
半透明媒体の定義
半透明媒体とは, 光線が吸収と散乱の組み合わせによって消滅するまでに, かなりの距離を通過できる物質のことです. 吸収は, 光エネルギーが熱エネルギーに変換され, 温度上昇につながるメカニズムです. 散乱は, 光が他の方向に方向を変えるメカニズムです. 光の散乱には様々な形態があります. 極端な例としては, 鏡や誘電体の表面で起こる鏡面反射と屈折が挙げられます. 一方, 濁った媒体 (例えば泥水など) 内で観測されるような, ほぼ等方的な散乱も存在します. この場合の濁度は, ランダムな形状と配向を持つ微小な浮遊粒子によるものです.
半透明媒体に入射するコリメート光は等方性散乱を起こすことがあります. これは, 光があらゆる方向に均等に方向を変えられることを意味します. この散乱はビームの経路上のあらゆる場所で発生し, 散乱した光自身もすぐに再散乱されるため, この図はこのプロセスを簡略化して示しています.
実在する物質は基本的にすべて, ある程度の異方性散乱を示すことに注意してください. つまり, 光は特定の方向に優先的に方向を変えます. しかし, 用途によっては散乱を等方性として近似できるため, ここではその場合について説明します. コリメート光 (レーザービーム) が物質に入射する場合を考えます. ここでは, 等方性散乱係数と等方性吸収係数によって光強度の変化が定量化されます.
モデリング手法の開発
モデリング手法を理解するために, まず散乱がなく吸収のみの物質があると仮定します. この状況は, 熱伝達モジュールの 輻射ビーム (吸収媒質) インターフェースを使用してモデル化できます. このインターフェースは, 物質内のランバート・ベールの法則を解きます. このインターフェースを使用する場合, 照射境界におけるビーム強度は既知であると仮定します. つまり, 既知のパワーを持つ光線が周囲の自由空間を伝播する場合, 指定される強度は物質に伝播する光の割合に基づきます.
このインターフェースで解く方程式は次のようになります:
ここで \mathbf{e}_i ビームの方向を表すベクトルで, I_i は, ビーム経路に垂直な平面で測定された単位面積あたりの光強度です. 空間的に重なり合う複数の異なる入射ビームが存在する場合, それぞれについて, i で添え字付けされた方程式を解きます. \kappa は吸収係数であり, これらのビームがどの程度吸収されるかを定量化します.吸収エネルギーはすべての入射ビームの合計になります: Q_r = \kappa \sum_i I_i. このインターフェースでは, 吸収された光エネルギーはすべて熱エネルギーに変換されるという前提になっていますが, 散乱も考慮するようにインターフェース設定を簡単に変更できます.
非ゼロの散乱係数 \sigma_s は, 吸収媒体インターフェース内の放射ビーム内で使用される吸収係数に追加できます. 従って \kappa_{tot} = \kappa + \sigma_s のように書くことができます. 吸収されたエネルギーは吸収された割合 \kappa/\kappa_{tot} と, 散乱された割合 \sigma_s/\kappa_{tot} に分けることができます.
次に, この光の散乱率が媒体中をどのように伝播するかを計算する必要があります. このとき, 光はあらゆる場所で吸収され, 再散乱されることを念頭に置いておく必要があります. ここで, 熱伝達モジュールの 輻射 (吸収散乱媒質) インターフェースを使用します. このインターフェースは, P1 近似を用いて以下の方程式を解きます:
ここで G は1ステラジアンあたりの光の放射強度であり, 単一方向だけでなくあらゆる方向へ向かう光を考慮していることを意味します. 光から熱エネルギーへの変換は, 右辺のこの項 -\kappa G で定量化され, 放射強度の減少につながります. ソース項 Q, 放射強度の体積増加につながり, この状況では, 輻射ビーム (吸収媒質) インターフェースから計算された損失の散乱率から生じます; つまり, Q = \frac{\sigma_s}{\kappa_{tot}}Q_r です.
散乱光を解く際には, 支配方程式に加えて, 材料の境界条件も必要です. 入射レーザー光が領域に入ることができると仮定すると, 散乱光がモデリング領域から出ていくことも合理的です. このような状況には, 半透明表面 機能が適しています. 放射率を \epsilon, 拡散透過率を \tau_d としましょう. これら2つの量は1以下でなければならず, 拡散反射率 \rho_d = 1-\epsilon – \tau_d を定義します. この境界に入射する散乱光はもし, \tau_d = 1, \tau_d < 1 なら完全に通過し, 光は部分的に拡散反射されてドメイン内に戻ります.
実装の詳細
COMSOL Multiphysics® でこのようなモデルを実装するには, 輻射ビーム (吸収媒質) インターフェースと 輻射 (吸収散乱媒質) インターフェースを組み合わせて使用できます. 前者のインターフェースは, 入射ビームの経路を囲むサブドメイン内でのみ解く必要があります. 一方, 輻射ビーム (吸収媒質) インターフェースでは, 吸収係数を散乱係数と吸収係数の両方を含むように修正する必要があります. したがって, 結果を評価する際には, 吸収率によって吸収熱を減らすことが重要です.
輻射ビーム (吸収媒質) インターフェースの 吸収係数 を用いて, コリメート光の吸収と散乱の両方を考慮します.
輻射 (吸収散乱媒質) インターフェースでは, 1) 吸収係数と散乱係数を個別に加算する, 2) 輻射ビーム (吸収媒質) インターフェースから吸収された熱の散乱率を提供する 輻射源 機能を用いて熱源項を加算することが可能です.
輻射ビーム (吸収媒質) インターフェースからの散乱光を, 輻射 (吸収散乱媒質) インターフェースに連成します.
結果を評価する上で, 入射ビームの熱損失の積分, 散乱光の熱損失, そしてモデリング領域から出射する入射ビームと散乱光の割合を評価することは特に有益です. 以下のプロットと表は, これらの損失の分布と積分を示しています. 損失の分布は, 伝熱解析において温度変化を計算するために使用できます.
入射ビーム (左) と散乱光 (右) から発生する熱源の分布. これらの熱源の合計が温度上昇に寄与します.
| 入射ビーム, 吸収電力 | 0.49 W |
| 散乱光, 吸収電力 | 0.35 W |
| 散乱光, 出射パワー | 0.14 W |
| 入射ビーム, 出力電力 | 0.02 W |
| 合計 | 1.00 W |
熱損失と放射損失の積分表. これらの合計は入射ビームのパワーと等しくなるはずです.
注意事項とおわりに
これまで見てきたように, 光の吸収と散乱のモデルは非常に簡単に実装できますが, この手法には2つの制限があることを強調しておく必要があります. まず, 鏡やレンズなどによる材料内部の光の鏡面反射や屈折は考慮できないため, ある程度均質な材料部分しかモデル化できません. 次に, 媒質内部の散乱は等方性であると仮定されます. これらの制限は, 計算の簡便さという利点によって相殺されます. コリメート光と散乱光の強度を求める2組のスカラー方程式を解くことで, 計算コストは非常に低くなります. さらに, 熱源項を熱解析と簡単に組み合わせて温度上昇を計算できます. したがって, ある程度均一な半透明材料サンプルと相互作用するレーザー光をモデル化し, 等方性散乱を仮定できる場合, このアプローチは効率性という点で魅力的です.
次のステップ
このブログで紹介されているモデルを実際に試すには, 下のボタンをクリックしてアプリケーションギャラリにアクセスしてください:
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