COMSOL Multiphysics® での感度解析の方法

シミュレーションは, 仮想環境下での部品の性能を予測するために, ほぼすべての工学分野で使用されています. しかし, この手法の利点はそれだけではありません. 性能に影響を与える主なパラメーターを理解することで, 設計プロセスに付加価値を与えることができます. この関係を理解する一つの方法は, COMSOL Multiphysics® ソフトウェアで感度解析を行うことです. ここでは, 曲げおよびねじり荷重を受けるトラスタワーを用いて, 感度スタディステップの使用方法をご紹介します.

感度解析とは?

モデル内のパラメーターを変更したときの効果を調べたことがある方は, 基本的に, そのパラメーターに関する感度解析を行っているはずです. このようなパラメーターとは, 例えば, 材料特性, 荷重, ジオメトリ間の距離などです. 感度を調べることが重要となる状況は, 主に2つあります.

1. 例えば, 製造公差や材料特性などの入力データの不確実性に対して, 応答がどの程度敏感であるかを特徴付ける必要がある場合
2. 設計のパフォーマンスを向上させるために変更を加える必要があり, 目標を達成するためにどのような変更が最も効率的であるかを知りたい場合

明らかに, パラメーターの摂動が大きければ応答はより大きく変化します. したがって, 測定対象の変化をパラメーターの摂動の大きさで割って, 感度の正規化された測定値を得ることは理にかなっています. そして, この正規化された数値を, 他のパラメーターについて同じ方法で計算された類似の数値と比較することができます (パラメーターはある程度同等で, 単位も同じであると仮定します).

このような (多かれ少なかれ手動の) 感度解析は, 前方差分解析と呼ばれ, そのコストはパラメーターの数に比例します. この方法は, パラメーターの数が少ない場合に最適です. しかし, パラメーターの摂動の大きさを選択するのは少し難しい場合があります. なぜなら, 数値的なノイズを避けるためには十分に大きく, 非線形効果を避けるためには十分に小さくなければならないからです.

下図のように, パラメーターを増やしたり減らしたりして, 中心差分と呼ばれるものを得ることで, 精度を向上させることができます. これは, 1つのパラメーター値ではなく, 2つの新しいパラメーター値に対してモデルを評価しなければならないため, 計算上の観点からは2倍のコストがかかります.

数学的には, 感度は, ある結果を1つ以上の入力パラメーターに対して微分したものと見ることができ, これまでに説明した2つの方法は, 微分を近似する2つのよく知られた方法です.

曲線の傾きは, 随伴感度解析と, 前方差分スキームまたは中央差分スキームを使用して計算できます.

しかし, 感度解析は COMSOL Multiphysics の組み込み機能であるため, 自分でパラメーターを摂動させる必要はありません. 随伴感度解析を使用すれば, パラメーターの摂動に関連する数値パラメーターを回避し, 単一の線形解法のコストで感度を計算することができます. 概念的には，微分を有限差分で近似するのではなく, 解析的手法を用いて導関数を計算しているように考えることができます. この機能は, 周波数ドメインのスタディタイプだけでなく, 定常スタディタイプでも利用でき, パラメーターがメッシュを変更しない限り, 使用することができます.

このブログで使用する例では, 考慮される問題には多くのパラメーターがあるため, 随伴感度解析を使用します.

トラスタワーの曲げとねじり

下部が固定され, 上部にねじりと曲げの荷重を受けるトラスタワーを想像してみてください (下図左). このモデルではトラス要素を使用していますが, トラス要素には回転に関する情報は含まれていません. しかし, 傾斜とヨーの計算にはこの情報が必要です.

このモデルでは, 傾斜とヨーを測定するために細いビーム要素 (下図右上の黒い十字で示されている) を使用しています.

曲げとねじりの荷重ケース (左) と, 4つの上部ノードの変位を用いて計算されたヨーと傾斜の変形の定義 (右).

ねじりと曲げの荷重ケースの傾斜とヨーを下表に示します.

COMSOL Multiphysics® での感度解析の実行

ここでは, 個々の棒の断面積の変化に対するタワーの感度を調べます. そのためには, 棒の断面積をスケーリングするための制御変数を棒ごとに作成します. これは, エッジ制御変数フィールドAbarを使って実行できます. 感度スタディステップは COMSOL Multiphysics のコア機能に含まれていますが, 追加するにはその他のオプションを表示ダイアログボックスで有効にする必要があります.

その他のオプションを表示から, 感度スタディステップを有効にすることができます.

制御変数は感度スタディステップに自動的に表示されますが, 目的関数はプローブまたは積分結合演算子を使って定義する必要があります. いずれの場合も, 以下の図のように, 感度スタディステップで目的関数を入力します.

傾斜目標は変数として定義されているため, 目的関数テーブルに直接書き込むか, 式の追加ボタンを使用して追加できます.

感度解析の結果

制御変数に対する感度は, 以下の傾斜感度に示すように, 式fsens(abar) を使用してプロットできます. 曲げ荷重ケースでは, 垂直方向の棒を補強すると, 特にタワーの下部で傾きが減少することがわかります. ねじり荷重ケースを右にプロットしていますが, タワーの傾きは棒の面積の変化に影響されないことがわかります.

曲げ荷重ケース (左) とねじり荷重の場合 (右) で傾斜感度をプロットしています.

ヨー感度を下に以下にプロットしました. これを見ると, 片側の斜材を補強し, 反対側の斜材を弱くすることで, 曲げ荷重ケースでもヨーを導入できることがわかります. これにより対称性が崩れ, 曲げ荷重に応じてタワーの上部がヨーイングすることになります. ねじり荷重ケースでは, 斜材を補強することでヨーイングを抑えることができます.

曲げ荷重ケース(左)とねじり荷重ケース(右)のヨー感度をプロットしたもの.

傾斜もヨーも横棒の変化に敏感ではないことから, 横棒を削除して構造物のコストを削減することが可能であると考えられます. ただし, そうすると縦棒の長さが2倍になるため, 局部的な座屈が発生しやすくなってしまいます.

次のステップ

ご自身で感度解析を実行してみてください. 下のボタンをクリックすると, トラスタワーモデルの感度解析に関するPDFドキュメントとMPHファイルが含まれているアプリケーションギャラリに移動します.