集光されたレーザー光を用いて材料を急速に加熱することは, 半導体加工業界を含め, 様々な目的でごく一般的に行われています. ここでは, 周期的にパルス強度を持つガウシアンプロファイルのレーザービームが, シリコン基板上に蒸着された2つの異なる半透明材料を加熱する様子を見ていきます. これをモデル化するために, 温度場とベア・ランバートの法則を用いたマルチフィジックスモデリング問題を解きます. このモデルをさらに探求し, どのように設定するかを見てみましょう…
シリコンウェハーに照射されるガウシアンプロファイルのレーザービーム
直径2インチのシリコンウェハー (下図) を例にとります. このウェハーの中心には, 厚さ100 μm, 半径1 cm の2種類の材料があります. ウェハーは, ガウシアンプロファイルのレーザー熱源によって上部から照射され, 時間的に急速にパルス化されます. これらの材料はいずれもレーザー波長700 nm では半透明であり, より波長の長い赤外線に対しては不透明です. シリコン基板はドープされており, すべての波長で高吸収性です.
パルスレーザーが不透明ウェハー上の2層の半透明材料を照射.
すべての材料は入射ビームに対して垂直な平面の境界を持つため, 入射光はすべて入射ビームに平行な均一な方向に伝搬します. 材料間の界面で反射は起こりますが, 屈折や回折は起こりません. 両方の層の厚さは波長よりはるかに大きいので, コヒーレンス長は層の厚さよりはるかに小さいと仮定できます. この問題は, 半透過媒質における光の減衰を記述するベア・ランバート則を使って求解できます.
この方程式は, COMSOL Multiphysics® ソフトウェア内の輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースを使用して求解されます. ただし, 反射があるため, 慎重に検討する必要があるニュアンスがいくつかあります.
フィジックスの理解とモデルの設定
成膜された層は円形であり, レーザーは中心に集光されるため, ウェハーの平面を無視し, 完全に軸対称なモデルとして扱うことができます. これにより, モデルを2D軸対称モデリング平面に縮小することができます. この平面では, ウェハーと2つの蒸着層を定義する3つの長方形を単純に描き, 3つすべてに異なる材料特性を割り当てます. これで, ジオメトリと材料が定義され, 物理に集中することができます.
まず, ウェハー上方のレーザー光源から z 軸に沿って, 自由空間を通るビーム経路をたどってみましょう. 40 W, 波長700 nm のレーザーを使用し, ビームは標準偏差1.5 mm のガウシアンプロファイルであるとします. レーザーは 75ミリ秒間オンになり, その後25ミリ秒間オフになります. または, レーザーは75パーセントのデューティサイクルと100ミリ秒の周期でパルス加熱を使用します. このタイプの段階的な読み込みは, イベントインターフェースを介して計算され, 離散状態, つまり, 時間的に 0 または 1 のいずれかをとる変数, ONOFFが導入されます.
レーザー光源や自由空間を通るビームの経路を明示的にモデル化することはせず, 物質と相互作用する光だけをモデル化します. 屈折率 n_{top}=2.4 を持つ最上層境界では, フレネル方程式:
で与えられる屈折率差によって生じる, いくらかの反射が発生します.
この式は複素数値の屈折率にも当てはまりますが, 屈折率の虚数成分は非常に小さいため, 評価では屈折率の実数値成分のみを考慮するのが合理的です. 界面に吸収がないという追加の仮定 (吸収性材料の非常に薄いコーティングなどによる) では, 透過率は T=1-R となります. これで, 以下のスクリーンショットに示すように, 輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースの入射強度機能を設定するために必要な情報が得られました.
入射強度機能の設定.
ビームが材料の最初の層を通過すると, その強度は吸収係数 \kappa に比例して減少します. 吸収係数は次の式で求められます.
ここで, k は屈折率の虚数成分, \lambda_0 は自由空間レーザー波長です. 吸収係数は温度に依存することもありますが, ここでは定数とします. 上面を横切るビームプロファイルの強度分布を与えると, ビーム強度は領域全体で計算されます.
堆積された材料の最上層と最下層の間の誘電体界面では, フレネル方程式で記述される反射と透過が再び発生します. ビームの反射成分は, 2番目の入射強度機能を追加するだけで, 既存の輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースで処理されます. このインターフェースには, 任意の数の入射強度機能を追加できます. それぞれが求解する追加の変数を導入し, これらの変数には rbam.I1, rbam.I2, …, などの名前が付けられます. この2番目の入射強度機能では, 最初のビーム強度とフレネル反射係数に基づくユーザー定義のビームプロファイルを導入できます. ビームの向きの符号を変えることで, 下のスクリーンショットに示すように, この界面での光の部分反射が完全に説明されます. 理論的には, 上部の境界でこのビームがさらに反射しますが, この2回目の反射は十分に小さいので無視します.
誘電体界面での反射を考慮した, 2番目の入射強度機能のスクリーンショット.
次に, 誘電体界面を横断して半透明材料の2番目の層に入るビームを追跡します. この境界を横切る光の強度に変化があるため, 2番目の輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースを追加し, フレネル透過率と最初の輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースからのビームに基づいて入射強度を定義する必要があります.
輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースの2番目の輻射ビームの入射強度機能のスクリーンショット. 最下部ドメインの強度に使用されます.
最後に, 光が2層目の底に到達し, シリコンウェハー基板に当たるとどうなるかを説明しましょう. ここでは, シリコンウェハーが高吸収性で非反射性であるようにドープされていると想定します. この境界に到達した光はすべて, 十分に小さな距離で吸収されるので, 光は境界で吸収されると言うことができるでしょう. この状況では, 不透明表面 境界条件は, 選択した境界にすべてのエネルギーを沈殿させ, これでレーザー光が構造中を伝播する際のモデリングが完了します. この機能の組み合わせで, モデルを通過する入射レーザービームを完全にモデル化することができました. 次に, 熱モデルに注目してみましょう.
経時的な温度変化のモデル化
ウェハーは最初に300 K の均一な温度にあります. すべてのドメインを介して伝導熱伝達があり, 材料間の界面に大きな熱抵抗はないと仮定します. つまり, 材料全体にわたる温度差はなく, 熱流束は連続的です. この状況はソフトウェアのデフォルトの想定ですが, これをオーバーライドしたい場合は, 薄層または熱接触機能を追加できます.
100 μm の層は, 古典的な熱伝達に関するフーリエの法則が適用されるのに十分な厚さですが, 100 μm での熱伝達について言及する価値はあります. ナノスケールは COMSOL ユーザーの間で活発に研究されている分野です. たとえば, ゲストブログ“ Kinetic-Collective モデルにおける流体力学熱輸送”.を参照してください.
熱境界条件として, ウェハーが完全な絶縁ベース上にあり, 真空に近いプロセスチャンバー内にあると仮定します. これは, 伝導性または対流性の熱伝達による冷却はないけれども, 300 K に保持されていると仮定したチャンバー壁への輻射性熱伝達があることを意味します. さらに, ウェハー温度は数百ケルビンしか上昇しないため, 輻射は入射レーザーと比較して長波長帯域になると仮定します. これが意味するのは, 概念的に言えば, 輻射熱伝達に2バンドモデルを使用できるということです. レーザーからの入射輻射線は, すでに輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースを介して完全に処理されています. より長い波長帯域で放出される輻射線 (プロセスチャンバー壁に対するウェハーの温度上昇による) は, 伝熱 (固体) インターフェースと連成された単一バンドの表面対表面輻射インターフェースを使用してモデル化できます. 表面対表面輻射インターフェースは, を全ての表面間および外気への形態係数を計算します.
この場合, 層がウェーハの上に突き出ている小さな内側の角の近くでのみ表面間輻射が存在することは言及する価値があります. 他の場所では, 周囲に対する単一性の表示係数があります. 少し単純化したい場合は, 表面対表面輻射インターフェースを省略し, 代わりに伝熱 (固体) インターフェースの表面対外気輻射境界条件を境界条件内で使用できます. 計算時間と結果にはほとんど差がないため, ここでは表面対表面輻射インターフェースを使用して形態係数を計算する, より正確なアプローチを使用します.
この装置のメッシュ化にも細心の注意を払う必要があります. 輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースは, 一階偏微分方程式を解き, デフォルトで, 場の線形離散化を使います. 吸収係数に基づいて, 強度は2つの層の厚さによって大幅に変化することがわかります. また, 表面上のレーザービームプロファイルの強度の変化が非常に緩やかであることもわかっています. これにより, 高アスペクト比の長方形要素を使用して, レイヤー内でマップされたメッシュが位置合わせされます. もちろん, 以前のブログ“ COMSOL Multiphysics® における固体の過渡加熱のモデリング導入”で説明したように, モデリングの複雑さが進むにつれて, メッシュとソルバーの相対許容誤差の調整を常に調査する必要があります.
設定が完了したら, 時間依存ソルバーを使用してこの問題を求解し, ソルバーが実行したステップでデータを保存します. 次に, 以下に示すように, 温度プロファイルと吸収熱, および経時的な上部中間点の温度をプロットできます.
Z 高さに対する温度の結果のプロット.
最後に, 説明の目的で, 温度の上昇に伴って最下層の吸収係数を増加させることにより, 材料の非線形性を導入します. 2つの半透明材料の吸収係数の比較を以下のプロットに示します. 非線形吸収係数により, 温度が上昇するにつれて材料の加熱が大きくなります. この材料の非線形性のため, 非線形特性を持つレイヤー内のメッシュを改良する必要もあります.
一定吸収と非線形吸収の温度の経時変化を比較したプロット.
終わりに
半透明材料の加熱に対処するためのモデリングアプローチを導入しました. 平行輻射熱源であるレーザーは, レーザー波長での材料の半透明の性質と誘電体界面での反射を処理する, 一連の輻射ビーム (吸収媒体) インターフェースを使用してモデル化されます. パルス熱源はイベントインターフェースを介して処理され, 長波長の赤外線再輻射は表面対表面輻射インターフェースを介して処理されます. このモデリング手法は, 半導体処理分野や, 平行光が半透明の材料に入射するあらゆる状況に適用できます.
このような種類のシミュレーションに興味がある場合は, 以下のボタンをクリックして, ここで説明するサンプル モデルを自由にダウンロードしてください:
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