固体材料を十分に加熱すると, 溶融した後に気化して気体になります. 材料によっては, 固相から液相を経ずに直接気相へ移行するものもあり, このプロセスは 昇華 または アブレーション と呼ばれます. 材料を十分に強く加熱すると, 顕著な材料除去が生じます. 今回は, このプロセスを COMSOL Multiphysics でモデル化する方法を見ていきます.
アブレーションによる材料除去
固体材料を加熱すると温度が上昇し, 最終的に相転移が起こります. この転移では, 液相を経て気相へ移行する場合と, 直接気相へ移行する場合があります. ここでは, 直接気相へ移行する材料のみを考えます.
さらにこのケースでは, 材料が加熱される際に表面において最高温度を取り, また内部加熱がないために固体内部に気体で満たされた空隙は発生しないものと仮定します. したがって, 表面で昇華が起こる状況に限定します. また, 材料が気相へ遷移すると, 熱的にはもはや重要ではないと仮定します. これは, 周囲に何らかの気体流れがあり, 気化した材料を運び去る場合には妥当な仮定です. 材料表面を加熱して気体状態にし, その気体を固体近傍から速やかに除去するプロセスは, 一般にアブレーションと呼ばれます.
アブレーションには, 材料表面へ大きな熱流束を供給する必要があります. このような熱源の最も実用的な例の1つが レーザー です. この手法は, レーザー加工, 外科的処置, レーザー彫刻 など, さまざまなプロセス に利用されています. もちろん, 熱源は必ずしもレーザーである必要はありません. 実際, 大気圏再突入時 に受ける高い熱負荷から宇宙機を保護する際には, アブレーション式の熱シールド が使用されてきました.
再突入機の熱シールドを描いたイメージ図.
アブレーションをモデル化するには, 固体材料内の温度の時間変化を計算すると同時に, 昇華熱 とそれに伴う材料除去を含めたモデルを設定して求解する必要があります. まず, 固体材料が昇華温度を超えないという条件を課す熱境界条件を構築する必要があります. 次に, 対象ドメインからの質量除去をモデル化する方法を構築する必要があります. これらを COMSOL Multiphysics でどのように実現できるか見てみましょう.
COMSOL Multiphysics での熱アブレーションのモデリング
まず, 上に示した宇宙機の熱シールドを大幅に単純化したモデルを考えます. 熱シールドを通過する熱流束は, 時間的にも空間的にも一様であると仮定します. また, 熱シールドの材料特性は一定であり, シールド面内の温度勾配は厚さ方向の温度勾配と比べて無視できるものと仮定します. これらの仮定の下では, 下図に示すようにモデルを1次元ドメインへ簡略化できます.
一様な熱流束を受ける熱シールド (前述) は, 1Dモデルに簡略化できます.
1Dドメインの熱境界条件として, 一方の側には断熱条件を設定します. これは, 宇宙機本体を通じた熱の除去がないことを意味します. もう一方の側には, 再突入時の大気加熱の影響を近似する, 一様で一定の熱流束を設定します.
最後に, 材料アブレーションによる熱損失をモデル化する一連の境界条件を含める必要があります. 材料がアブレーション温度に達すると, 気体へ変化し, モデリングドメインから除去されます. したがって, 固体材料の温度はアブレーション温度を超えることができず, また材料がアブレーション温度にあるときには, 材料密度と昇華熱によって決まる表面からの質量損失が生じます. この要素をモデル化するには, 熱境界条件と材料除去をモデル化する方法の両方が必要です.
アブレーションをモデル化するために導入する熱境界条件は, 次の形式のアブレーション熱流束条件です:
(1)
ここで q_a は材料アブレーションによる熱流束, T_a はアブレーション温度, h_a=h_a(T) 温度依存の熱伝達係数であり, T < T_a では 0 で, T > T_a では線形に増加します.
この曲線の傾きは非常に急であり, 固体の温度がアブレーション温度を大きく超えないようにします. 熱境界条件に加えて, 材料除去も含める必要があります. 固体境界が侵食される速度は次式で表されます:
(2)
ここで v_a は材料のアブレーション速度, \rho は材料密度, H_s は昇華熱です.
それでは, これらの式が COMSOL Multiphysics でどのように実装されるかを見てみましょう. まず, 下に示す グローバルパラメーター で定義される材料特性と熱負荷から始めます.
1Dモデルに適用するグローバルパラメーター.
次に, 以下のスクリーンショットに示すように, ランプ 関数を使用して, 式 (1) に必要な温度依存の熱伝達係数を定義します. 傾き自体は任意ですが, 値が小さすぎるとアブレーション温度を超え, 値が大きすぎると数値収束が遅くなります.
次に, 式 (1) で必要となる温度依存の熱伝達係数を定義するために ランプ 関数を使用します. 次のスクリーンショットに示します. 傾き自体は任意ですが, 値が小さすぎるとアブレーション温度を超えてしまい, 大きすぎると数値収束が遅くなります
ランプ関数には非常に急な傾きを設定します.
モデルは長さ 1 cmの1Dドメインで構成されます. 時間に伴う温度変化のモデル化には, 伝熱 (固体) インターフェースを使用します. 一方の側に入射熱流束を適用し, もう一方の側に断熱条件を適用します. 式 (1) のアブレーション熱流束は, 下のスクリーンショットに示すように実装します. 熱流束条件は合算されるため, 境界には入射熱流束とアブレーション熱流束の合計が適用されます.
式 (1) からのアブレーション熱流束条件の実装.
材料除去をモデル化するために, 変形ジオメトリインターフェースを使用します. 自由変形 機能により, 境界条件で指定されたとおりにドメインのサイズを変化させることができます. 一方の側 (断熱側) では, 既定変形によって境界の変位を0にします. ドメインのもう一方の端では, 下に示すように, 既定 法線メッシュ速度 条件によって材料除去の速度である式 (2) の条件を課します.
変形ジオメトリ インターフェースを使用した, 式 (2) の材料除去の実装.
メッシュ速度は式 ht.hf2.q0/(rho*H_s) で与えられます. ここで ht.hf2.q0 は, 先ほど定義したアブレーション熱流束境界条件によって計算される熱流束です. このような COMSOL 内部で定義される変数の定義はすべて, 結果 > レポート > 詳細レポート に移動することで確認できます.
これらの機能によりアブレーションの影響が組み込まれ, 下図のように時間に伴う温度変化を求解できます. 固体右側の温度がアブレーション温度まで上昇すると, 材料がドメインから除去され始めることがわかります. 材料がアブレーションされている間, 境界の温度は一定に保たれます. さらに, 材料がアブレーションを開始すると位置に対する温度の微分が変化することにも注目してください. これは, 総熱流束が変化したことを示しています.
1Dドメインにおける温度の時間変化.
最後に, もう少し複雑な問題の結果を示します. この問題では, ガウス型の強度分布を持つ熱負荷を軸対称ジオメトリに適用します. ここでは, レーザー加熱によって材料をアブレーションし, 穴を加工するシミュレーションを行います. 上で説明したものとまったく同じモデル設定を2Dドメインで使用できます.
次のアニメーションで示されるシミュレーション結果では, 時間の経過とともに穴が形成されていく様子がわかります. ドメインの変化が大きいため, この例では 変形ジオメトリ インターフェースで 超弾性 スムージングタイプを使用してメッシュを変形させています. なお, 変形ジオメトリ インターフェースでは, ドメインのトポロジー変化は不可能であることに注意してください. したがって, 貫通穴の形成をモデル化することはできず, モデリングドメインの片側からの材料除去のみがモデル化可能となっています.
2D軸対称モデルにおけるレーザーアブレーションを示すアニメーション.
熱アブレーションのモデリングに関するまとめ
今回のブログ記事では, 熱流束境界 条件と, 既定メッシュ速度機能を設定した 変形ジオメトリ インターフェースを使用して材料のアブレーションをモデル化する方法を示しました. ここで紹介した例は, アブレーションのモデリングのみに焦点を当てるため, できるだけ単純化しています. より現実的なモデルでは, 表面からの放射伝熱や温度依存の材料特性も含めることになります.
さらに, レーザー加工で一般的に使用されるパルス熱負荷を考慮することもできます. このようなケースのモデリングについて詳しくは, 以前のブログ記事 をご覧ください. レーザーで加熱する場合, 光が材料内部へ有限の距離だけ侵入することもあります. このような場合には, 材料へのエネルギー付与をモデル化する方法 の1つとして, ランベルト・ベールの法則 を使用できる場合があります.
加熱中に材料自体が最初に何らかの化学変化を起こす場合には, 熱硬化のモデリング に関する以前のブログ記事もご覧ください. また, 材料損傷を追跡する 追加方程式を導入する別の方法により, 熱的に無視できる薄層のアブレーションを考慮することもできます.
COMSOL Multiphysics を使用した熱アブレーションのモデリングにご関心がある場合や, これらのトピックについてその他のご質問がある場合は, ぜひ お問い合わせ ください.
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