半導体における放射線の影響は, エレクトロニクス産業, 医療用画像処理, 原子力工学, 航空宇宙および軍事用途など, 多くの技術分野に影響を与える, 幅広く複雑なトピックです. ここでは, 初期の論文 (文献 1) に基づいて, ピンダイオード (PIN ダイオードとも呼ばれます) の電離放射線に対する電子応答を調べる方法を説明します. このチュートリアルは, COMSOL Multiphysics® バージョン 5.5 以降の半導体モジュールで利用できます.
グローバルタイムパラメーターの定義
定常応答と過渡応答の両方を調べるには, 時間の単位でグローバルパラメーター t を定義し, グローバルパラメーター t とグローバル区分関数 pw1 を使用して時間依存の生成率 gR を定義すると役立ちます. このモデルでは, グローバル区分関数 pw1 はピーク値が 1 の三角形のパルスを表します.
グローバルパラメーター, 特に時間パラメーター t と時間依存の生成率 gR を定義します.
ピーク値が 1 の三角パルスを表すグローバル区分関数 pw1.
この時間パラメーター t により, 定常ソルバーは同じ名前の組み込み時間変数 t を認識できます. これにより, 研究の種類に関係なく, 放射線量による生成率に同じ時間依存式 gR を使用してモデルを簡単に設定できます.
発生率に関する同じ時間依存式gRは, 定常状態と過渡状態の両方の研究に使用できます.
定常状態の試験の場合, 投与量は時間パラメーターtの値を適切に設定することで調整できます.
ダイオードの逆バイアス
PINダイオードは, 下図に示すドーピングプロファイルを持つ厚さ300μmのシリコンウェハーから作られています.
PINダイオードのドーピングプロファイル.
輻射によって生成された電荷キャリアを収集するために, 1 kV に逆バイアスされます. これは, モデル内の定常スタディで行われます. 時間パラメーター t の値は, グローバルパラメーターテーブルで指定されているように 0[s] の値のままにされるため, 電圧スイープでは輻射はゼロ (生成なし) になります.
この論文で使用されている電場依存移動度モデルでは, 方程式系が非常に非線形になり, 解くのが難しくなります. 幸い, この困難を克服する方法はいくつかあります. たとえば, 継続パラメーター cp をゼロに設定することで, まず電場に依存しない移動度を想定できます. これにより, 印加電圧 V0 を平衡状態から動作電圧 1000 V まで簡単に上昇させることができます.
継続パラメーター cp をゼロに設定して, フィールド非依存移動度による最初の電圧スイープを実行します.
このステップでは, 継続予測子をデフォルトの 定数 から 線形 に変更することも役立ちます. 線形 オプションは, 線形外挿スキームを使用して次のスイープパラメーターの初期推定値を推定することにより, 電圧スイープを高速化するのに役立ちます.
デフォルトの 定数 オプションでは, 現在の解が次のスイープパラメーターの初期推定値として使用されます. これはより保守的なアプローチであり, ほとんどの場合, 高度に非線形な半導体方程式系に適していますが, このモデルでは保守的すぎます.
線形予測子の選択.
電場に依存しない移動度で電圧スイープが完了したら, 電場に依存する完全な移動度モデルの場合の初期推定として解のセットを使用できます. これは, パラメトリックスイープ ノードを使用して, スイープされた電圧 V0 とスイープされたパラメーター インデックス をペアにすることで行われます.
パラメーター インデックス をスイープ電圧パラメーター V0 とペアにします.
次に, パラメーター インデックス を使用して, Step 1: 定常 ノードの設定ウィンドウの マニュアル オプションを使用して, 各 V0 値に対応する正しい解を選択します.
各電圧値に対する解のインデックス付け.
一旦計算されれば, キャリアの枯渇と電場の蓄積は, 下図のようにプロットすることができます. 電圧掃引の終わりには, ホールは完全に空乏化し, 電場はほぼ一定であることがわかります.
キャリア枯渇（左）と電場増加（右）の電圧スイープ結果.
定常応答
ダイオードを 1000 V で完全に逆バイアスすると, 定常放射線に対するデバイスの応答を調べる準備が整います. 前述のように, 以前のスタディでは, 時間パラメーター t はグローバルパラメーターテーブルで定義されている 0[s] でした. したがって, パルス関数 pw1(t/tp) はゼロで, 放射線による生成率 gR もゼロでした. ここで, 非ゼロ放射線を指定するには, 時間パラメーター t をパルス持続時間 tp に設定し, パルス関数 pw1(t/tp) が 1 になるようにします. 次に, パラメーター RadSi によって, Rad(Si)/s 単位で直接線量率を指定できます.
時間パラメーター t をパルス持続時間 tp に設定し, パラメーター RadSi を使用して投与量率を指定します.
これからわかるように, 電場依存の移動度は高線量率に対して興味深い結果をもたらしますが, 方程式系が非常に非線形になり, 解くのが難しくなります. 電圧スイープに関する以前の 2つのスタディでは, この困難は, 解法プロセスを 2つの段階に分割し, 最初の段階で電場非依存の移動度, 2 番目の段階で完全な移動度を扱うことで克服されました. 線量率スイープに関するこの最後のスタディでは, 完全な移動度を扱う単一の研究を使用して困難を克服する別の方法を示します.
非線形性により, 自動ニュートンソルバーは理想的な二次収束動作よりも遅く収束し, その結果, 継続ソルバーはスイープパラメーター RadSi に対して小さすぎるステップを実行します. 代わりに, 適切な減衰係数を持つ 定数ニュートン オプションを使用できます.
さらに, 最初のステップが大きくなりすぎてバックトラックで時間を無駄にすることがないように, パラメトリック1 ノードの継続ソルバーに適切な初期ステップ サイズを提供します. 最後に, アンダーソン 加速を使用してパフォーマンスをさらに向上させ (非線形反復の以前の履歴からの情報を利用することにより), 反復の最大回数を少なくしてバックトラックで無駄にされる時間を減らすことができます.
非線形の困難を克服するには, 小さな減衰係数を持つ 一定ニュートン 法と アンダーソン 加速方式を使用します.
継続ソルバーのステップサイズを最適化します.
計算後, 以下に示すように, いくつかのイオン化率に対する定常電場分布とホール密度プロファイルをプロットします.
さまざまな線量率における電場（左）とホール密度（右）の定常応答.
高い線量率では, 生成された電荷キャリアの分離により, ダイオードのバルク内の電場が減少します. 対応する小さなドリフト速度により, 同じバルク領域内に電荷キャリアが蓄積されます. この影響により, 次に示すように, 時間応答が遅くなることが予想されます.
時間依存反応
定常状態のスタディが完了したら, 参考文献の図 8 の挿入図に示されている三角形の波形を持つパルス放射の効果を調査する準備が整いました. この波形は, 正規化された高さが 1 であるモデルのパルス関数 pw1(t/tp) によって提供されます. ピーク線量率は, パラメーター RadSi で Rad(Si)/s 単位で指定されます. 初期条件は定常解析の解によって提供され, 過渡効果は従属変数の全体的なスケールの観点からは小さな摂動であるため, 時間依存ソルバーの許容範囲を 1e-8 に厳しくし, 従属変数には 初期値ベース のスケーリングを使用します. また, イベント インターフェースを使用して, 適用された放射線パルスの終了時の傾斜の急激な変化を捉えることができます.
放射線パルスの終了を示すために, イベントインターフェースを使用.
時間依存ソルバーの許容誤差を1e-8に厳しくし, 初期条件として定常スタディの解を使用.
従属変数に初期値ベースのスケーリングを使用.
過渡試験では, 線量率が小さい場合（下の青い曲線）と比較して, 線量率が大きい場合（下の緑の曲線）の光電流波形のテールが大きくなっています.
シミュレートされた光電流応答は, 線量率が小さい場合（青色）と比較して, 線量率が大きい場合（緑色）に有意なテールを示しています.
この挙動は, 以下の電場とキャリア濃度のプロットを調べることで理解できます. 電子とホールが電場によって反対方向に掃引されると, 電荷分離によってバルクでは電場が減少します. このため, 同じバルク領域でのドリフト速度が非常に小さくなり, 電荷キャリアはその領域に長く留まることになります.
バルク内の電場の減少.
バルク内のホール（左）と電子（右）の電荷キャリアの停滞.
COMSOL Multiphysics® の多目的ポスト処理ツールを使用すると, 上で説明したように, すべての重要な情報をカプセル化する要約プロットを簡単に作成できます.
時間の関数としてのホール密度. (z-height) とドリフト速度 (色) の概要プロット. (y-axis)
結論
PINダイオードのチュートリアルモデルと, 電離放射線に対する定常状態および過渡応答を使用して, いくつかの実用的なモデリング手法を紹介しました. シミュレーション結果は, 参考文献に掲載されている数値とよく一致しています.
次のステップ
モデルを自分で試すには, 下のボタンをクリックしてください (MPH ファイルにアクセスするには, 有効なライセンスを持つ COMSOL Access アカウントにログインする必要があります).
参考文献
- C.W. Gwyn, D.L. Scharfetter and J.L. Wirth, “The Analysis of Radiation Effects in Semiconductor Junction Devices,” IEEE Conference on Nuclear and Space Radiation Effects, Columbus, Ohio, July 10–14, 1967.
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