高校生の頃, 私は何時間もトランペットの練習をしていました. 夕方になり, 日が沈むと, 500メートルほど離れた校舎に自分の音が反響するのを聞くことができました. 当時, なぜ遠くの反響が日没後にしか聞こえないのかとよく不思議に思っていました. このブログでは, この奇妙な現象について説明し, COMSOL Multiphysics® ソフトウェアとその独自の音線追跡法を使用してシミュレーションします.
温度勾配による音の屈折
その後, この音現象の原因は大気中の温度分布の変化にあることがわかりました. 温度は一般に高度が上がるにつれて低下します. この状況では, 音速の温度依存性により, 空気中の音速は高度が上がるにつれて遅くなります. たとえば, 空気中の音速 c_0 は, 次の理想気体モデルでうまく説明できます.
ここで, \gamma, R_{\rm{const}}, T, M_{\rm{n}} は, それぞれ比熱比, 普遍気体定数, 温度, モル質量を表します. 理想気体モデルは乾燥した空気を想定していますが, 一般的に言えば, 空気中の音速は相対湿度にも依存します. たとえば, 較正カップラーモデル は, 湿った空気中の音速を例示しています. スネルの法則によれば, 音速の遅い領域から速い領域へ音波が界面に入射すると, 下図のように入射角よりも小さい屈折角を持つ屈折波が発生します.
低速音速領域と高速音速領域の間の境界面における音の屈折.
したがって, 標準大気条件下での連続傾斜温度場では, 次の図に示すように, 音は上向きに屈折します.
日中の音線伝播の例. 線は音線を表し, 背景色は温度場を表し, 温度は地面に向かって上昇します.
大気中を伝播する音は通常, 空に消えていきます. ただし, 夜間など, 地表からの熱放射が太陽からの受信熱を上回ると, 温度逆転が発生することがあります. この逆転により, 以下に示すように, 音が下向きに屈折します.
夜間の音線の伝播の例.
音の伝播方向が逆になることで, 夜間は遠くの音がよりよく聞こえるようになります. この現象を正確にモデル化することは, 屋外の音響解析にとって非常に重要です. なぜなら, 音響伝達特性の違いは, 屋外の騒音レベルや音声明瞭度などの要素の計算結果に大きく影響するからです.
音線追跡法は, 圧力ベースや波ベースの方法のように波長を分解する細かい空間メッシュを必要としないため, 広い屋外空間での音響伝播をシミュレートするのに適しています. ただし, 標準的な音線追跡法では, 音線が反射または屈折条件の境界に当たった場合にのみ音線の方向が変わります. 大気中の滑らかな屈折音軌跡を計算するには, それぞれが屈折条件を記述する複数の境界を手動で設定する必要があります. このプロセスには時間がかかり, 適切な設定が何であるかが不明な場合がよくあります. COMSOL Multiphysics® に実装されているハミルトンベースの音線追跡法は, 傾斜媒体内の音線軌跡を正確に本質的にモデル化できるため, 屋外の音響解析に適しています.
COMSOL Multiphysics® で使用されている音線追跡アルゴリズムの機能の詳細については, ブログ, 光線追跡アルゴリズムの選択が解に与える影響 を参照してください. この方法は, 音速が深度に依存するこのチュートリアルモデル 2D軸対称ジオメトリでの水中音線追跡 などの海洋音響問題のモデル化にも適しています.
以下では, 音線音響インターフェースを使用して, 昼間と夜間に屋外で発生するさまざまな音線の軌跡を計算します.
長距離エコーのモデリング
COMSOL Multiphysics® を使用して, 500 m 離れた建物からのトランペットの長距離エコーをシミュレートしてみましょう. エコーが夜間のみ検出可能かどうかを確認するために, 2つの温度条件を使用してシミュレーションを実行しました.
ブログの著者が高校時代に練習していたようなトランペット. 画像は Ballista によるもので, CC BY-SA 4.0 ライセンスで, Wikimedia Commons から提供されています.
シミュレーションは次の手順で構成されます:
- 伝熱 (流体) インターフェースを使用して温度場を計算
- 圧力音響 (周波数領域) インターフェースを使用してトランペットベルの放射指向性を計算
- 音線音響 インターフェースを使用して屋外を伝わる音を計算
モデルジオメトリと拡大表示された音源領域.
上の図はモデルジオメトリを示しています. 校舎は, 白い長方形の開いた空間で表されます. 地面の形状は, 標高データを使用して作成されました.
シミュレーションでは, 音がトランペットのベルから発せられ, 演奏者がベルの近くにいると想定しています (演奏者の位置は, インパルス応答の計算に使用されます). 図には, ステップ 2 で説明した拡大された音源領域も示されています.
ステップ 1: 熱伝達解析
最初のステップでは, 地上に2つの温度条件 (日中は 25°C, 夜間は 9°C) が割り当てられ, 空の温度は 19°C に保たれています. 校舎の表面を含むその他の境界は, 断熱 境界条件として設定されました. 下の図は, 日中と夜間の温度場を示しています.
昼と夜の温度場.
昼間は, 垂直方向の標準温度分布を確認できます. 上部は低温です. 夜間は, 条件が逆転し, 上部は高温になります.
ステップ 2: 圧力音響解析
2番目のステップでは, トランペットのベルの音響放射指向性をモデル化します. この例では, ベルの形状から得られる指向性のみが考慮され, 損失はモデル化されませんでした. ベルの形状は, 内部音響ハード境界 (壁) 条件を使用して, カットオフ周波数が 1200 Hz の指数ホーンとしてモデル化されています. 指数ホーンの断面積半径 r は, 次の式で増加します:
where
f_{\rm{c}} はカットオフ周波数, and c は音速です. 空間変数は x で表されます. 上記の式は2次元バージョンであることに注意してください (面外方向に均一な厚さを想定). 実際の3次元指数ホーンでは, 断面積は e^{mx} で増加します.
このステップでは, 円の内側の領域のみが, 完全整合層 (PML) による切り捨てを伴う有限要素法 (FEM) を使用してモデル化されています. 励起として, ベルの入口に 1 m/s2 の 法線加速度 境界条件が設定されました. ステップ 1 で取得した温度フィールドを切り替えるために, 切り替えパラメーター “Ns” を持つ パラメトリックスイープ スタディステップが使用されました. 次のスクリーンショットは, 周波数領域 スタディステップと パラメトリックスイープ スタディステップの設定を示しています.
周波数領域 スタディステップ (左) と パラメトリックスイープ スタディステップ (右) の設定.
昼間の条件 (左) と夜の条件 (右) で計算された指数ホーンの放射パターン.
上の図は, 125 Hz, 1000 Hz, 4000 Hz の2つの温度場におけるベルの放射パターンを示しています. 指向性は周波数の増加とともに鋭くなります. 高周波数での放射強度は, カットオフ周波数より上では小さくなります. また, 温度場が指向性にほとんど影響を与えないことがわかります.
ステップ 3: 音線音響解析
3番目のステップでは, ステップ 1 とステップ 2 でそれぞれ取得した温度場とベル放射指向性の下で音線追跡を実行します. COMSOL Multiphysics® の音線追跡法では, 傾斜媒体でのインパルス応答を簡単に計算できます. 以下に示すように, 音線音響 インターフェースの 強度計算 リストから 勾配材料中の強度とパワーを計算 を選択します.
音線音響 インターフェースの 強度計算 の設定.
壁 ノードの 拡散および鏡面混合反射 条件を地面と建物の境界に適用し, 壁 ノードの 消失 条件をその他の境界に割り当てて非反射境界をモデル化しました. すべての反射境界に鏡面反射の確率 0.95 を設定しました. 地面の吸音モデリングについては, 地下が厚いという仮定のもと, 次の近似 Wilson インピーダンスモデルを使用します.
ここで, z_{\rm{n}} は地面の正規化された表面インピーダンスです. 空気密度と流れ抵抗は, それぞれ \rho と \sigma で表されます. 虚数単位と角周波数は, それぞれ j と \omega で表されます. このシミュレーションでは, 流動抵抗は 440 kPa s/m2 に設定されました. 地面の垂直入射吸収係数は, 以下にプロットされています.
地面の垂直入射吸収係数.
校舎の表面には, 吸収係数 0.05 を設定します. ベルの放射指向性を考慮するために, 境界出射 機能が使用されました.
境界出射 機能の設定.
ブログ, 小型スマートスピーカーの完全音響室パルス応答 は, 境界出射 機能について詳しく知るための優れた参考資料です. このブログでは, 圧力場から出射 機能についても説明されていることに留意することが重要です. これは, 3Dモデルでソースを設定するためのより自動化された方法を表しています. ここでは, 境界出射 機能を使用して手動設定が行われます. ソース計算スタディの結果を使用するために, 音線追跡 スタディステップと パラメトリックスイープ スタディステップを次のように設定します.
音線追跡 スタディステップ (左) と パラメトリックスイープ スタディステップ (右) の設定.
音線追跡の結果
次の画像は, 昼間の条件での音線軌跡とインパルス応答を示しています. インパルス応答は, プレーヤーの位置 (ベルの近く) に設定されたレシーバーによって捕獲されます.
日中の 500 Hz での音線軌跡. 音線の色は伝播時間を表します.
昼間の条件でプレーヤーの位置でのインパルス応答.
視認性のため, 反射回数が0の音線は軌跡の図から除外しました. 一部の音線は建物の表面に当たったものの, 空中に消えてしまい, プレーヤーの位置に戻ってこないことがわかります. 他の周波数でも同じ傾向が確認されました. プレイヤーの位置でのインパルス応答は, 建物からのエコーを捉えていません. 次に, 夜間条件でのプレーヤーの位置での音線の軌跡とインパルス応答を以下に示します.
夜間条件での 500 Hz での音線の軌跡.
夜間条件でのプレーヤーの位置でのインパルス応答.
昼間の状況とは異なり, 多くの音線が建物に当たり, 夜にはプレーヤーの位置に戻ります. プレーヤーの位置でのインパルス応答には, 校舎からのエコーも含まれます. これらの結果は, 夜間に校舎がより大きな音を受信したことを示しています. どの程度大きくなるかを確認するために, プレーヤー側の校舎表面の平均音圧レベル (SPL) を以下に示します.
演奏者側の校舎表面の平均 SPL.
ここでは, FEM (波動法) との結合によってモデル化されたベルの放射特性 (1200 Hz でカットオフ) が, 上記の SPL プロットの周波数特性に大きく貢献しています. 段階的な温度場における音の経路の正確なモデル化により, 夜間の方が昼間よりも音が遠くの建物によく伝わることが明確に示されています. 夜間の状態で, 建物の表面は 125 Hz～2000 Hz で 5.5 dB 以上大きな音を受け取りました. 音源がトランペットではなく, たとえば騒音規制のある国境にある工場のコンデンサーユニットである場合, この違いは重要になる可能性があります.
最後に, 聴覚化を使用して私の経験を共有したいと思います. 次の例では, 昼と夜の状況でプレーヤーの位置での音の違いを聞くことができます. 2番目の例では, 夜間の校舎からの反響を聞くことができます. 可聴化の詳細については, ブログ, 室内音響分析のための畳み込みと可聴化 を参照してください.
昼間のトランペットの音を聴覚化したもの.
夜間のトランペットの音を聴覚化したもの.
音の調整と制御の重要性
このブログでは, 夜間に音が遠くまで伝わるというよく知られた現象について説明し, モデル化しました. また, COMSOL Multiphysics® で利用できる音線追跡アルゴリズムが, 大規模な屋外音場のモデル化に特に適していること, および段階的メディアから生じる音の屈折をシミュレートするのに適していることも示しました. 騒音規制では通常, 夜間は昼間よりも低い音量が求められるため, 夜間の大気中の音の屈折特性を考慮することが重要です. COMSOL Multiphysics® の 音線音響 インターフェースを使用すると, 屋外の音を確実に予測および制御できるほか, 大勢の聴衆に演説する場合など, 高品質が求められることが多い屋外拡声システムの音声明瞭度を評価することもできます.
地面の標高データは 国土地理院 が提供するカラー標高マップから作成されました.
無響音は, The Open AIR Library から CC BY 4.0 に基づいて提供されています.
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