線形系の調和励起のモデリングに関する議論を拡張して, 今度は非線形系に焦点を移します. 系への負荷に正弦波成分が含まれる問題と, 材料特性または負荷と制約が解に直接依存するケースを検討します. ご覧のとおり, COMSOL Multiphysics は, 非常に効率的な求解アルゴリズムを使用して, これらの明らかに非線形なケースに対処できます. その方法を確認しましょう.
時間調和成分を含む負荷と非線形系
線形系の調和励起のモデリング に関する以前のブログでは, 周波数領域で系の過渡応答をモデリングできる2つの条件を特定しました. これら2つの条件は次のとおりです.
- 系にかかる時間とともに変化するすべての負荷と制約は, 同じ固定周波数で正弦波状に変化
- すべての負荷, 制約, および材料特性は, 解から独立
今日は, この2つの仮定を少し緩和することを検討します. まずは, 負荷が時間とともに純粋に正弦波状に変化しない系の非常に一般的なケース, つまり張力のかかったギターの弦の振動から説明を始めましょう. ご存知のように, ギターの弦の張力を上げると, ピッチ (振動の基本周波数) が上がります.
ギターの弦は, 弦の張力に応じて異なる周波数で振動します.
以前のブログで紹介した一般的な偏微分方程式を使って, このようなケースを考えてみましょう:
(1)
M u_{tt} + C u_t + \nabla \cdot (-K \nabla u) = F_0+\tilde F sin(\omega t) &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K \nabla u) + Au = f _0 + \tilde f sin(\omega t ) &\text{ on } \Gamma_1 \\
u = g_0 + \tilde g sin ( \omega t) &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
ここで, ボディ荷重 F_0+\tilde F \sin(\omega t), 境界荷重 f_0+\tilde f sin(\omega t), および制約 g_0+\tilde g \sin(\omega t) は, 定数成分と正弦波的に時間変化する成分に分解されます. 構造エンジニアであれば, これを静的成分と動的成分への分解と呼ぶかもしれません. 電気エンジニアであれば, これらの要素をそれぞれ DC 成分と AC 成分として説明するでしょう.
さらに, 動的成分の大きさは静的成分よりもはるかに小さいと想定できます. つまり, \tilde F \ll F_0, \tilde f \ll f_0, および \tilde g \ll g_0 です. 動的荷重が比較的小さい場合, 静的荷重の場合, 動的荷重によって小さな振動が発生すると想定するのが妥当です. つまり, 解は u = u_0 + \tilde u の形になると想定しています. これは, 調和摂動 または 周波数領域摂動 とも呼ばれます. COMSOL Multiphysics では, これを構造力学フィジックスインターフェースの場合は プレストレス解析 スタディ, 電磁気フィジックスインターフェースの場合は 小信号解析 スタディと呼びます. 電気化学フィジックスインターフェース用の AC インピーダンス スタディ.
これらのスタディタイプはすべて, 同じ基本的な求解アプローチを採用しています. 正弦波的に時間変化する成分を無視することから始まり, まず定常問題を解きます:
(2)
\nabla \cdot (-K \nabla u_0) = F_0 &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K \nabla u_0) + Au_0 = f _0 &\text{ on } \Gamma_1 \\
u_0 = g_0 &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
ここで, 実際には, 材料特性と荷重の両方が解に直接依存する可能性があります. つまり, K = K(u_0), F_0 = F_0(u), f_0 = f_0(u_0), および g_0 = g_0(u_0) です. これは, 定常問題は実際には非線形である可能性がある ことを意味します. 材料の非線形性, 静的荷重, および制約の組み合わせが適切に設定された問題を表す限り, 分析はそれほど複雑になりません. このような非線形定常問題に対処する方法をよりよく理解するには, ソルバーシリーズ をご覧ください.
系の定常応答を解いた後, 静的解 u_0 を使用して, 支配方程式の周波数領域摂動形式で使用される非線形材料特性を評価できます:
(3)
-\omega^2 M(u_0) \tilde u + j \omega C(u_0) \tilde u + \nabla \cdot (-K(u_0) \nabla \tilde u) = \tilde F &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K(u_0) \nabla \tilde u) + A(u_0) \tilde u = \tilde f &\text{ on } \Gamma_1 \\
\tilde u = \tilde g &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
構造問題の場合, 静的解は系の変形状態も表します. この変形状態に基づいて周波数領域摂動方程式が形成され, 材料非線形性に加えて, いわゆる幾何学的非線形性が導入されます.
上記の支配方程式は, すべての荷重と制約を均質化, つまりそれぞれをゼロの大きさに設定することで, 固有周波数問題として提示することもできます.
当社のアプリケーションギャラリには, この求解アプローチを示すチュートリアルが多数掲載されています. 以下に例をいくつか示します:
- 振動する弦
- 振動する膜
- プレストレスボルト付き圧電 Tonpilz トランスデューサー
- バイアス共振器のプルイン電圧 — 3D
- インダクターの小信号解析
- MOSFET の小信号解析
- 電気化学インピーダンス分光法
周波数領域励起による非線形性はどうでしょうか?
ここまでの例では, 周波数領域荷重による系の応答は線形であると仮定してきました. つまり, 周波数領域荷重または制約 (\tilde F, \tilde f, \tilde g) のいずれかがスカラー値だけ増加すると, 周波数領域解も同じスカラー値だけ増加すると仮定しました. もちろん, このような仮定が成り立つためには, 荷重, 制約, および材料特性がすべて, \tilde u, つまり周波数領域解から独立している必要があります. ただし, これが当てはまらないケースも数多くあります. これらの状況のいくつかに対処する方法を見てみましょう.
まず, 材料特性がサイクル平均解に依存するケースから始めます. 場 \tilde u は複素数値なので, サイクル平均の大きさは次のように与えられます: |\tilde u| = \frac{1}{2} \Re (\tilde u \cdot \tilde u^*). これにより, 次の形式の支配方程式を解くことができます:
(4)
\begin{align}
-\omega^2 M(|\tilde u|) \tilde u + j \omega C(|\tilde u|) \tilde u + \nabla \cdot (-K(|\tilde u|) \nabla \tilde u) = \tilde F(|\tilde u|) &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K(|\tilde u|) \nabla \tilde u) + A(|\tilde u|) \tilde u = \tilde f(|\tilde u|) &\text{ on } \Gamma_1 \\
\tilde u = \tilde g(|\tilde u|) &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
この非線形偏微分方程式は, 実際には, ソルバーシリーズ で説明されているのとまったく同じアルゴリズムで解くことができます. したがって, 実際には, 材料の非線形性に関する適切な式を入力すること以外に, このような問題に対処するために学習する必要がある “余分な” ことはほとんどありません. このような問題の例として, 弊社のチュートリアルモデルである BK-7 光学ガラスの自己集束 を参照してください. このモデルでは, 屈折率 n=n_0+\gamma I が, 電磁場の強度 I に直接依存しています.
材料特性は, サイクル平均振幅のこのような単純な関数である必要はありません. たとえば, AC/DC モジュールには, 周波数領域での磁性材料のモデリング に関する以前のブログで説明した非線形材料関係を使用する効果的な H-B 曲線モデリングアプローチが含まれています.
これまでは, 周期平均の場の大きさに関して非線形な材料応答のみを検討してきました. ただし, 系の正弦波励起が系の高調波励起に結合する可能性もあります. なぜそうなるのかを理解するには, 励起が時間とともに \sin(\omega t ) として変化し, 解も時間とともに同じ周波数で正弦波的に変化すると想定していることに留意してください: u(t) = \tilde u \sin(\omega t ) . しかし, 瞬間的な (サイクル平均ではない) 磁場の大きさに直接依存する物質の応答がある場合, 三角関数の恒等式 \sin^2(\omega t ) = (1- \cos ( 2 \omega t ))/2 を使用して, 応答が実際には次の形式であると推測できます: u(t) = \tilde u_1 \sin(\omega t ) +\tilde u_2 \sin(2 \omega t ) + \cdots.
このタイプの応答は, 周波数倍増 または 高調波発生 と呼ばれ, 電磁気学, 特に光学系ではかなり一般的です. 実際には多くの高調波が存在する可能性がありますが, 実際には, エンジニアリング上重要な高調波は1つまたは2つだけです. このような場合, 新しい一連の一般的な支配方程式を書くことができます:
(5)
\begin{align}
-\omega^2 M \tilde u_1 -j \omega C \tilde u_1 + \nabla \cdot (-K \nabla \tilde u_1) = \tilde F_1 -Q &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K \nabla \tilde u_1) + A \tilde u_1 = \tilde f_1 &\text{ on } \Gamma_1 \\
\tilde u = \tilde g_1 &\text{ on } \Gamma_2 \\
-4 \omega^2 M \tilde u_2 -j 2 \omega C \tilde u_2 + \nabla \cdot (-K \nabla \tilde u_2) = + Q &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K \nabla \tilde u_2) + A \tilde u_2 = 0 &\text{ on } \Gamma_1 \\
\tilde u_2 = 0 &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
ここで, 2つの方程式セットの間には, 一般的なドメイン結合項 Q があります. 簡単にするために, 静的成分は省略されています. また, すべての材料特性は周波数に依存する可能性があり, したがって異なる高調波ごとに異なることにも留意してください. ここで, 非線形結合項を持つ支配的な偏微分方程式系が示されています. これらの方程式を解くには, ここで紹介したのと同じ求解アプローチ を参照するだけです.
このチュートリアルモデルをダウンロードして, 周波数領域での2次高調波発生のモデリング を示す例を確認してください.
より一般的な非線形性への対処
正弦波励起がある場合でも, ここで説明した仮定を利用して問題を単純化できなくなるポイントがあります. そのような状況では, 時間領域モデリングに焦点を移す必要があります. 時間領域でのモデリングは周波数領域よりも時間がかかりますが, 解の時間的変化を完全に把握し, 非正弦波応答につながるものも含め, あらゆる種類の非線形性を組み込むことができます.
アプリケーションギャラリには, 時間領域モデリングの一般的な例がいくつかあります. 次の例が含まれます.
ここで説明したモデリング手法についてご質問があり, マルチフィジックスモデリングのニーズに役立つと思われる場合は, ご遠慮なく お問い合わせ ください.
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