Penrose の”照らされない部屋”を光線光学を使って調査する

2022年 6月 23日

1950年代, 数学者 Ernst Straus 氏によって, ある興味深い問題が提起されました. “側壁が完全な鏡でできている任意の形の空っぽの部屋で, 点光源は常に部屋全体を照らすのか? “ という問題です. この問いに対し, ノーベル賞受賞者の Roger Penrose 卿が ”Penrose の照らされない部屋” と呼ばれる ”照らされない” 領域を持つ部屋を設計し, 華麗に答えました. しかし, Penrose の照らされない部屋は本当に照らされないのでしょうか? COMSOL Multiphysics® でシミュレーションを実行してこの問いに答えていき, 光線光学の基本的な仮定を解説していきます.

照明の問題

この質問を初めて聞いたとき, 具体的に何を聞いているのか, すぐにはわからないかもしれません. 下図のような例で考えてみましょう. 左図のように, 2次元の部屋の鏡張りの側壁は任意の形状をとることができ, 光源は部屋の中の任意の場所に配置することができます. この場合, 部屋全体が光源に照らされることは容易に想像でき, 右の光線追跡シミュレーションでも当然のように確認できます. 要するに, Straus の問題は, 点光源を部屋の中に置いたときに, 一部の場所が照らされないような部屋の形状の設計が存在しうるかどうかを問うているのです.

左の画像は, 完全な鏡でできた側壁とその内部に点光源がある, 何もないブロブ型の部屋を示しています. 右の画像は, 点光源に照らされた同じ部屋の光線追跡シミュレーションです.
完全な鏡でできた任意の形状の側壁と, 部屋の中にある点光源を備えた空っぽの部屋 (左). 部屋全体が点光源によって照らされていることを示す光線追跡シミュレーション (右).

この問題を見たとき, 私はすぐに”部屋の角が非常に鋭い部屋では, 一部分が照らされなくなるのではないか”と考えました. しかし, もうお気づきでしょう. こんなにも簡単に照らされない部屋の形がわかるのなら, 科学界にとって面白い問題にはならなかったはずですよね. 十分な時間があれば, 光は必ず部屋全体を照らすことがわかります. この時点で, あなたは納得できず, 自分にも照らされない部屋を設計できるとお考えかもしれません. 挑戦したい方は, ぜひ“光線光学モジュール”を使ってお試しください!

 

点光源で全照射された鋭角な部屋.

Penrose の照らされない部屋

この厄介な問題を最終的に解決したのは, 2020年のノーベル物理学賞を受賞した天才, Roger Penrose 氏です. 下図に示す彼の設計は, 一見しただけではまったくわかりません. 部屋は, 上下にある2つの楕円形の壁と, 2つの”傘”の切り込みがある長方形の領域で構成されています. この設計が機能するための唯一の条件は, 上下の壁が楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1として表現され, 楕円の焦点と”傘”の角点が一致することです. abの具体的な値, 傘の形, 傘の幅などの詳細は, 部屋の特性を変えることはありません.

値 a, b, c をラベル付けした Penrose の照らされない部屋を描いた図.
Penrose の照らされない部屋の設計

では, “光線光学モジュール”を使って試してみましょう! 以下のアニメーションでは, 点光源を, 中央, 上半分, 左の傘の左側 (傘が直立していると想像すると傘の”下”) の代表的な点に配置しました. 光線はその点から等方的に発射されます. 明らかに, どの場合も光に照らされていない部分があります. 光源を傘の”下”に置くと, 光は部屋の下半分にも届きません. なお, これは時間領域シミュレーションが十分に長く実行されていないためではありません. 時間が無限大に近づいても, この影の部分は照らされないままなのです.

 

 

 

Penrose の照らされない部屋に, 点光源をさまざまな場所に配置した光線追跡シミュレーション.

Penrose の照らされない部屋の特徴は, 楕円鏡の特殊な性質にあります. 大学の光学の授業で, 楕円鏡の一方の焦点から発せられた光は, もう一方の焦点に集束することを学んだ記憶があるかもしれません. この性質は, 左下のアニメーションで示されています. 楕円鏡のもう一つのあまり知られていない特性は, 光が焦点と楕円の最も近い頂点の間で発生した場合, もう一方の焦点ともう一方の頂点の間の点にのみ到達し, 焦点間の長軸と決して交差しないことです. この性質は, 中央下のアニメーションで示されています. また, 右のアニメーションで示されているように, 2つの焦点の間で発生した光は, 各焦点とその最も近い頂点との間の長軸と決して交差することはありません.

 

 

 

左: 焦点に向けて発射された光線は, 焦点の位置でのみ長軸と交差します. 中央: 焦点から最も近い頂点までの間に発射された光線は, 焦点の間の長軸と交差しません. 右: 2つの焦点の間で発射された光線は, 焦点の間の長軸とのみ交差します.

これらの性質を考慮しながら, Penrose の照らされない部屋を以下のような領域に分けることができます. Penrose の設計では, 楕円の焦点が傘の縁と一致していることに改めてご注意ください. そのため, 次のことがわかります:

  • A_1の中に配置された光源は, 焦点間の楕円の長軸と交差して “C” の領域に入ることができないので, A_1, B_1, そしてA_2のみを照らします.
  • B_1に配置された光源は, 光線は下側の楕円の2つの焦点間の下半分にしか入射できないため, A_3A_4は照明されないままです. したがって, 焦点と頂点の間で長軸と交差し, A_3A_4に入射することはできません.
  • C_1に配置された光源は, 同じ理由でA_1, A_2, A_3, そしてA_4を照らさないままにします.

対称性により, 部屋の下半分の対応する領域に光源を配置しても, 同じ効果が得られることになります. したがって, Penrose の照らされない部屋は, 点光源を部屋のどこに配置しても, 必ず照らされない領域が発生すると結論づけることができるのです.

Penrose の照らされない部屋をさまざまな領域に分割した図.
部屋をさまざまな領域に分割します. A_1に配置された光源は, A_1, B_1, A_2のみを照らします. B_1に配置された光源は, A_3A_4は照らされないままにします. C_1に置かれた光源は, A_1, A_2, A_3, A_4を照らされないままにします.

光あれ: 照らされない場所を照らす

上記の光線追跡シミュレーションは, 部屋が照らされないことを実証しているように見えますが, 本当にそうでしょうか? 光線光学の基本的な前提を覚えておく必要があります. それは, 光の波長は, 光が相互作用する物体の大きさよりもはるかに小さいため, 回折効果は完全に無視できるということです. aは, 部屋の上下の壁を表現する楕円の長軸であることを思い出してください. 光線光学シミュレーションでは, 基本的に波長𝜆 <<𝑎 を仮定しています. 現実の部屋の寸法が数メートルで, 可視光線領域 (波長~500 nm) の光源がある場合, この仮定は非常によく成り立ちます. しかし, 部屋を狭くしたり, 光の波長を長くしたりして, \lambdaaと同等になるとどうでしょうか?

これを検証するために, “波動光学モジュール”に切り替えて完全波動シミュレーションを実行します. 上図の部屋の3番目の光線追跡アニメーションと同様に, 左上 (A_1領域) の傘の”下” に線電流 (面外)を配置します. 線電流は, 電場が面外方向に向いた円筒波を放射する点源として機能します. 増加する波長での電場分布は周波数ドメインでシミュレートされ, 以下のようになります. \lambda=a/40(左上)では, 予想通り, 光線追跡シミュレーションと同様の電場分布が得られています. 場は部屋の下半分に到達していないようです. しかし, 波長が長くなるにつれて, 回折が顕著になり, 部屋の下半分に電場が漏れるようになります. \lambda=a/10(左下)と\lambda=a/5 (右下)では, 今まで照らされていなかった部分が照らされているのがよくわかります!

この画像は, Penrose の照らされない部屋のモデルについて, 周波数領域で4つの異なる電場分布をシミュレーションしたものです.
\lambda=a/40, \lambda=a/20, \lambda=a/10, そして\lambda=a/5における周波数領域でシミュレーションされた電場分布. 短い波長では, 光線追跡の結果と同じような電場分布になります. しかし, 波長が長くなると, 回折により今まで光が当たっていなかった部分まで電場が入り込みます. 電場のノルムを以下の図でプロットします.

“電磁波 (周波数領域)”インターフェースを使って平衡状態での電場分布を可視化することに加え, “電磁波 (過渡)”インターフェースで時間領域シミュレーションを実行すると, 波の伝播や回折を可視化することができます.

 


部屋の上半分, 左の傘の”下” (左側) に配置された線電流から放出される面外電場を時間ドメインでシミュレーションしたもの. 回折により, 電場は部屋の下半分に漏れています. 波長はa/5となります.

波動干渉

これまでのシミュレーションでは, Penrose の照らされない部屋は, 回折効果を完全に無視できると仮定した場合にのみ”照らされない”ことを示しているようです. しかし, この結論は早計であることに気づくべきです. 実は, 状況はもっと複雑なのです. 光の波動性が現れると, もう一つの重要な現象である”干渉” を考慮する必要があります. 周波数領域のシミュレーション結果を見ると, 多くの領域で, 電場のノルムが実際にはゼロであることがわかります. これは, 出射波と回折波が干渉し, 電場強度がゼロの節を持つ定在波パターンを形成するためです. したがって, ある意味, それらの領域は, 平衡状態では光が当たっていないことになります. 長い時間待っていれば, 必ず光のない領域が存在するということです. 一方, 時間領域で考えることもできます. 光波が初めてこれらの領域に初めて伝搬するとき, 回折波が到達して電場を打ち消すまでの一定時間, これらの領域が照らされます. この意味で, 少なくともある一定の時間, 部屋全体が照らされることになります. 結論として, 部屋全体が照らされていないかどうかは, 解釈次第なのです. 最も重要なことに, 異なるスケールでは, 光学現象の見え方が大きく変わることがわかります. シミュレーションの実践者として私たちは, 波動光学と光線光学の根本的な違いと, それらに伴う独特の現象を常に念頭に置いておく必要があります.

最後に

この数学的な難題が興味深いことに加え, Penrose の照らされない部屋は, 波動光学と光線光学の根本的な違いを実証する優れた例です. 仮定が異なれば, 同じ問題でも結論はまったく異なるものになります. また, 初心者の方からの質問にも答えてくれています. それは, “COMSOL®ソフトウェアには2つの光学モジュールがありますが, 波動光学モジュールと光線光学モジュール, 光学的な問題をシミュレーションするにはどちらを使えば良いのでしょうか?”という質問です. 簡単に説明すると, 次のようになります. 例えば, カメラのレンズシステムと相互作用する可視光や, 路上で動作するライダーなど, サイズが関連する波長よりも桁違いに大きいジオメトリが対象の場合, 光線光学モジュールを使用しても全く問題ありません. 一方, 波長より小さい, あるいは波長と同程度の大きさのナノ粒子の光散乱を対象とする場合, 波動光学モジュールや RF モジュールによる完全波動シミュレーションが必然的に必要となります. 同時に, どの物理量やプロセスを対象とするかによって, モジュールの選択も変わってきます. 例えば, 光線光学シミュレーションでは光の伝搬経路を, 波動光学シミュレーションでは電場分布の全容を表現することができます.

シミュレーションに適したモジュールを選択することで, シミュレーション結果の精度を保証できるだけでなく, シミュレーションにかかる時間を大幅に短縮することができます.

次のステップ

下のボタンをクリックすると, “アプリケーションギャラリ” のエントリーに移動しますので, “Penrose の照らされない部屋” モデルをご自身でお試しください:

補足資料

  • この照明の問題について, もっと詳しく知りたいですか? アニメーションや図面, 3D プリンターを使って, Penrose の照らされない部屋について詳しく解説した次のビデオをご覧ください.

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