何故テニスラケットは倒れるのか? Dzhanibekov 効果の説明…

2020年 9月 1日

時は1985年, 世界の宇宙探査への関心は本格化しています. ソ連の宇宙ステーション, サリュート7号が地球を周回していますが, 何かがおかしいのです. ロシアの科学者はサリュート7号と連絡を取ることができません. すべてのシステムがシャットダウンされ, サリュート7号は軌道から外れ始めています…

Dzhanibekov 効果の発明

Vladimir Dzhanibekov 宇宙飛行士と Viktor Savinykh 宇宙飛行士は, 宇宙船を救うために派遣されました. 難しいミッションでした. 受賞歴のある歴史家でサイエンスライターの David S. F. Portree によると, これは歴史上最も印象的な宇宙修理の偉業の1つでした.

地球からの物資は, 回転軸が3つある蝶ナットで固定されていました. Dzhanibekov がナットを緩めたとき, 彼は 奇妙なことに気づきました. 蝶ナットが回転してからひっくり返ったのです. 以下の T 字型のオブジェクトで, これと同じ動作を確認できます.

 

Vladimir Dzhanibekov は, 単純化されたジオメトリを使用してここに示されている, 宇宙の蝶ナットの特異な効果に気付きました.

この効果はマジックではありません. 数学です.

3次元の物体の場合, 3つの特別な回転軸を識別することができます. これらの軸は, 物体が特定の角速度でそのうちの1つを中心に回転するとき, 物体の角運動量は, 角速度とこの回転軸に対応する慣性モーメントの積によって与えられるという特性を持っています. これらの慣性モーメントは主慣性モーメントと呼ばれ, 回転軸は主回転軸と呼ばれます.

一部の物体では, 回転の主軸は簡単に識別できます. たとえば, 上記の簡略化された蝶ナットジオメトリや, シリアルの箱や携帯電話などの一般的なオブジェクトです.

中間軸の定理, 別名テニスラケットの定理または Dzhanibekov 効果を説明する図.

蝶ナットとテニスラケットは何の関係があるのでしょうか?

Dzhanibekov 効果は別名中間軸定理またはテニスラケット定理とも呼ばれています. テニスラケットにも, 簡単に識別できる3つの回転主軸があるため, 蝶ナットと同じ動作を示します.

 

Dzhanibekov が1980年代にこの現象に気付いた後, 何年も秘密にされていました. しかし, 数学者のチームが独自にテニスラケットの効果に気づき, その背後にある数学を解明しました. 彼らは6年後に論文 ”The Twisting Tennis Racket” を発表しました.

この効果の複雑な発見の歴史は, 中間軸定理がこれら2つの別の名前で通用する理由です. それが何と呼ばれ, どこから来たのかが分かりました. この現象はどのように機能するのでしょうか?

オイラーの運動法則

剛体の回転は, オイラーの運動法則によって記述されます. これらの法則はニュートンの法則の拡張であり, ニュートンの点粒子から剛体 (携帯電話やシリアルボックスなど) に拡張されます. オイラーの方程式を以下に示します:

I_1\dot\omega_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3\,=\,M_1
I_2\dot\omega_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1\,=\,M_2
I_3\dot\omega_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2\,=\,M_3

ここで, I_i は3つの各軸に沿う主慣性モーメントで, \omega_i は軸に沿った過去速度成分. そして M_i はトルクです.

慣性モーメントの値は, その軸の周りに角加速度を生成する (つまり, 回転を速くまたは遅くする) ために必要なトルクの量を示します. 最大の慣性モーメントには最大のトルクが必要ですが, 最小の慣性モーメントには最小のトルクが必要です.

剛体が3軸を中心に自由に回転している場合を考えると, この回転がどのような条件下で安定または不安定であるかを調べることができます. これは, 1軸と2軸の周りの角速度に小さな摂動を仮定することによって行われます. オイラー方程式のいくつかの操作の後, 次の方程式に到達します:

\ddot{\omega}_1 = -\left[\frac{(I_3-I_2)(I_3-I_1)}{I_1I_2}\omega^2_3\right]\omega_1 \,\,\, \,\,\, I_1 \neq I_2 \neq I_3

括弧の中の部分はただの定数で (それを k と呼びましょう). その定数は正または負で, 主慣性モーメントの値に依存します. もし I_3I_1 より大きく, I_2 (つまり I_3 が最大慣性モーメント) だとすると, (I_3I_2) と (I_3I_1) はともに正で, k も正になります. 同じことがもし I_3I_1I_2 (つまり I_3 が最小慣性モーメント) の両方よりも小さいと, (I_3I_2) と (I_3I_1) はともに負で, やはり k は正になります.

次を得ます:

\ddot\omega_1=-k\omega_1

どこかで見たことがありますか? これは単振動の方程式です. -k<0 だからです. これは安定した動きです. つまり, わずかな摂動によって体が平衡状態から外れることはありません.

もし I_3 が完成モーメントの最大でも最小でもない場合はどうでしょうか? 例えば, I_3I_2 よりも大きく, I_1 よりも小さい場合を考えます. この場合, k は負になります. 負の符号が前にある場合, -k>0 のため, 結局, の定数が得られます. この方程式は不安定です.

言い換えれば, 物体の安定性はナイフの刃の上を歩いているようなものです. どのような力でも, どんなに小さくても, 物体は転倒します.

中間軸定理を示すマルチボディ解析

この現象を実際に見るために, 宇宙にいる必要はありません. COMSOL Multiphysics® ソフトウェアを使用してマルチボディ解析を実行し, Dzhanibekov 効果を調べることができます.

以下に示すように半径1 cm, 高さ z 軸方向に7 cm, x 軸方向に10 cm の2つのアルミシリンダーで構成されるアルミニウム T バーを考えてみましょう.

中間軸の定理を示す T バーの形状.

マルチボディダイナミクスモジュール, COMSOL Multiphysics のアドオンで, 剛体ドメイン境界条件を追加でき, それらを選択して剛体ボディにすることができます. 同様に密度を材料参照に設定します.

T バーモデルを開いた COMSOL Multiphysics のモデルビルダーのスクリーンショット.

モデルを z 軸で回転するように設定でき, 回転軸と角速度の次の値も設定できます:

回転軸の初期値と角速度の初期値の設定ウィンドウのスクリーンショット.

シミュレーションは, T バーの端がどのように移動するかを示しており, その位置または変位を時間とともに解析できます.

回転軸や角速度の変更など, さまざまな値を変更または追加して, T バーの安定性にどのように影響するかを確認できます.

T バーモデルの初期値の変更がその安定性に与える影響を示すスクリーンショット.

x y z

 

 

 

x, y, と z 軸で回転する T バー.

T ハンドルの最後にポイントを追加することで, 効果をより簡単に可視化できます. これにより, 式 sqrt(u2+v2) を使用して変位の大きさをプロットすることにより, 回転の主軸からの T ハンドルの変位を可視化することもできます. 下のグラフでは, T ハンドルバーの端が z 軸と適切に位置合わせされている場合, 数量はゼロであり, 反転し始めるまで安定しています. グラフは, 反転の間に安定した領域があることをより明確に示しています.

T バーモデルの軸外変位と変位場をプロットしたグラフ.
青い線は軸外変位 (安定) を示し, オレンジ色の線は変位場, Z 成分 (不安定) を示します.

この概念 (および 1D プロット) をさらに可視化するために, 以下のアニメーションは, T ハンドルが z 軸の周りの軌道を移動する間の変位を示しています. これは, ポイント軌跡プロットを使用して表示できます. モデルが不安定になると軌道が大きくなり, 点がもう一方の端に到達するとすぐに安定することがわかります (これが何度も繰り返されます).

 

Dzhanibekov 効果をシミュレーションアプリでもう一歩先へ

COMSOL Multiphysics にはアプリケーションビルダーが含まれており, 数値モデルを特殊な入力と出力を備えた直感的な UI に変換できます. 例として, 上記の T バーモデルのアプリを作成しました.

 

Dzhanibekov 効果アプリのスクリーン録画.

このアプリを使って次のことをテストできます:

  • 3つの異なるジオメトリ
    • オリジナルの T バージオメトリ
    • テニスラケット
    • 携帯電話
  • 回転軸
    • X
    • Y
    • Z

注: 携帯電話とテニスラケットのジオメトリは x 軸で不安定ですが, T バーは z 軸で不安定です.

アプリを使用して, 選択したジオメトリと軸のアニメーションを再生することもできます.

この効果を実生活で実証したい場合, COMSOL は携帯電話やテニスラケットの損傷について責任を負いません. 実際, アプリを使用する方がおそらく安全です!

次のステップ

デモアプリをダウンロードし, ジオメトリの1つを選択し, それを回転させる軸を選択して, 何が起こるかを確認します:

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