1980年, Bell Communication Research の Eli Yablonovitch は, 特定の周波数範囲で半導体レーザーの損失を減らす方法について考えました. 彼は透明な媒体で周期的な円形の穴をスライスし, その周波数範囲の光が損失により透過できないことを観察しました. Yablonovitch は, これらの構造が伝導帯と価電子帯を持つ半導体と同様に機能することを発見し, それらをフォトニック結晶と名付けました (プリンストン大学の Sajeev John と共に). フォトニック結晶が光を制御する3つの例について説明しましょう.
編集者メモ: このブログは, 更新されたモデリング機能を反映するために, 2020年11月18日に更新されました.
フォトニック結晶
フォトニック結晶は, 周期的な光学構造で, 光を曲げたり, フィルタリングしたり, 反射させたりするような, さまざまなアプリケーションを実現します. フォトニック結晶の最も単純な構成の1つは, 多層膜としても知られる, 単一方向 (このモデルでは+/- Y 方向) に周期的に繰り返される2つの異なる誘電体材料を設けることです. 参考文献の第4章で説明されているように, 2つの層 (青と緑) の比誘電率に基づいて, 1D フォトニック結晶に対して3つの異なる解析を実行します.
- Case 1: \epsilon_{1} = 13 and \epsilon_{2} = 13
- Case 2: \epsilon_{1} = 13 and \epsilon_{2} = 12
- Case 3: \epsilon_{1} = 13 and \epsilon_{2} = 1
簡単にするために, 多層膜が一方向に繰り返される実際の3D ジオメトリをモデル化する代わりに, 2D 断面ジオメトリをモデル化しましょう. フロケ周期条件は+/- Y 方向に適用され, 連続性周期条件はフォトニック結晶の+/- X 方向に適用されます. 連続性周期条件により, ソースと行先境界に同じ解を適用することにより, 単位セルを+/- X 方向に無限大に拡張できます. フロケ周期条件では, ソース境界と行先境界の間に適切な位相差を適用することにより, + /-Y 方向にユニットセルを無限に繰り返すことができます.
固有振動数解析は, \frac{-\pi}{a}から\frac{\pi}{a}まで波数ベクトル (ky) を掃引して実行されます. ここで, a は層の厚さ (このモデルでは200 nm) です. 固有振動数解析は約100 THz で実行され, より多くの固有振動数が探索されます (このモデルでは8). 分散関係は, 固有振動数を表す freq 式を使用して, ケースごとにプロットできます.
分散関係から, 材料特性が均一であると見なされる最初のケースでは, モードが光線に沿っていると推測できます. 2番目のケースでは, 比誘電率のわずかな変化により, 105 THz と107 THz の間にフォトニックバンドギャップが形成されます. 3番目のケースでは, 比誘電率の大きな違いにより, フォトニックバンドギャップがさらに広がり, 114 THz から192 THz の間の周波数は遮断され, 最終的にフィルターとして機能します.
1D フォトニック結晶の実際の3D ジオメトリと, COMSOL Multiphysics でモデル化された2D ジオメトリの概略図.
1D フォトニック結晶の3つのケースの分散解析.
フォトニック結晶で光を曲げる.
下の図に示すように, GaAs ピラーが周期的に配置されている場合, デバイスは光をある角度 (この場合は90°) で曲げることができ, 周波数帯域 (この場合は90°とも呼ばれます) のフィルターとしても機能します (フォトニックバンドギャップとも呼ばれます).
フォトニック結晶の概略図.
COMSOL Multiphysics® ソフトウェアとアドオンの波動光学モジュールでこのフォトニック結晶をモデル化するために, 散乱境界条件と, 1 V/m の振幅を使用して, 横方向の電場 (TE) (z 方向に偏光) を左側の境界から伝搬させます. 残りの境界には, 入射場のない散乱境界条件が割り当てられます. 入射光源に対してさまざまな波長のスイープを使用してモデルを実行すると, 以下に示すように, 透過率と反射率のグラフが得られます.
フォトニック結晶の正規化された透過率.
左: 波長1000nm の通過帯域. 右: 700nm の波長の阻止帯域.
フォトニック結晶ファイバーのモデリング
ステップインデックスファイバーは, コアの高屈折率を介して光をガイドしますが, フォトニック結晶ファイバー (PCF) は, インデックスガイドまたはバンドギャップ閉じ込めのいずれかを介して光をガイドする微細構造光ファイバーで構成されます. このブログでは, PCF のコアがクラッド材でできており, 空気で満たされた穴に囲まれているインデックスガイド PCF に焦点を当てています. 空気穴の半径を0.3 *ピッチと仮定します. ここで, ピッチは隣接する穴の間の距離です. 分散関係を定量化するために, このフォトニック結晶ファイバーの2D 断面を使用してモード解析を実行し, 波の伝播が面外方向に発生すると仮定します.
インデックス型フォトニック結晶の概略図.
分散図 (実効屈折率と正規化された波長) をプロットするために, 0.23um から4.69um までの穴の半径にわたってパラメトリックスイープとともにモード解析を実行します. 基本モードと高次モードを検出するために, 解析するモードの数を50に増やします. 次に, 合計50の識別されたモードから基本モードと高次モードを正しく識別することが課題になります. これらのモードを識別する1つのアプローチは, さまざまな有効モード屈折率 (または有効屈折率) のコア領域で積分を実行することです.
コア領域に統合された電力と, 4.65um の穴半径と15.5um のピッチの実効モード屈折率番号.
不要なモードを除外し, 意味のある基本モードと高次モードのみを捕獲する方法は2つあります
- 電力にフィルターを適用します. たとえば, 必要な実効屈折率は
ewfd.neff*(intop1(ewfd.Poavz)>P_threshold)です. ここで,P_thresholdは不要なモードを排除するパワーです. - 基本モードと高次モードの実効モード屈折率を観察し, それが繰り返されているかどうかを確認します.
この場合, 基本モードが有効モード屈折率番号40と45の間で繰り返され, 高次モードが有効モード屈折率番号20と25の間で繰り返されることがわかります. 分散図は, これらのフィルターの両方を含めてプロットし, 不要なモードを削除します. 分散図は, 参考文献の図4, 第9章 Ref. 1とよく一致しています.
分散図: 実効屈折率対正規化波長 (lda0 /ピッチ).
別の例では, 微細構造光ファイバーのリークモードが解析されます. モード解析は, HE, TE01, TM01のようなモードなどのさまざまなモードの複素有効屈折率を定量化するために実行されます. モード解析では, 領域としてモード探索法を使用し, 屈折率の実数部と虚数部の最小値と最大値を明示的に示します. 完全整合層 (PML) と散乱境界条件 (SBC) を使用して, シミュレーションドメインを途中で切ります.
微細構造光ファイバーの TE01 様モード.
フォトニックバンドギャップの解析
バンドギャップをモデル化する別のアプローチは, フォトニック結晶モデルのバンドギャップ解析に示されているように, 固有値問題を定式化することです. この場合, GaAs ピラーの周期的な配置がモデル化され, ピラーは互いに等距離に配置されます. 最初の例で行ったように, GaAs ピラーのアレイをモデル化する代わりに, 以下に示すように, 単一セルのみをモデル化し, フロケ周期境界条件を適用します.
+/- X および+/- Y で適用される周期境界条件を使用した配列から単位への近似.
(1,1) 方向の分散関係を評価するために, 0から0.5までの波数ベクトル k に対して補助スイープが実行されます. さらに, GaAs 材料の屈折率は周波数に依存すると考えられています. 以下の分散関係からわかるように, フォトニック結晶のバンドギャップとしても知られるバンド3と4の間で (1,1) 方向に生き残る EM 波の伝播はありません.
波数ベクトルを (1,1) 方向に0から0.5まで変化させたときの分散関係.
結論
フォトニック結晶デバイスのモデリングには, さまざまな周波数のパラメトリックスイープの実行, モード解析, 固有値解析など, さまざまなアプローチがあります. フォトニック結晶は, 光の経路を設計するためのフィルターおよびツールとして機能します. これは, フォトニック集積回路を設計する際に特に役立ちます. さらに, モード解析を実行する場合, コア領域で電力を統合し, 特定のモード屈折率番号をフィルタリングすると, 基本モードと高次モードを他の不要なモードから区別するのに役立ちます. 最後に, 単位セルモデルをフロケ周期境界条件とともにモデル化して, バンドギャップ解析を実行できます.
次のステップ
COMSOL® ソフトウェアでフォトニック結晶をモデル化するための特殊な機能の詳細:
- このブログで紹介されているチュートリアルモデルを試してください.
- COMSOL ブログでシリコンフォトニクスの詳細をご覧ください.
参照
- J.D. Joannopoulus, R.D. Meade, and J.N. Winn, Photonic Crystals (Molding the Flow of Light), Princeton University Press, 2008.
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