渦路の美

2021年 5月 5日

流体が障害物の周りを流れると, 周期的な渦の脱落が発生する可能性があります. これは, 自然界で非常に頻繁に発生し, さまざまな技術的応用にとって興味深い理解である, いわゆる渦路を生じさせます. 私にとって, 渦路は, ただただ魅惑的な美しさでもあります. それらは最新の CFD シミュレーションで解析できますが, 渦路の性質に関する基本的な理解は, 100年以上前に, 私の現在の職場であるゲッティンゲンから歩いてすぐのところにある名前の由来者によって得られました.

流体力学の歴史への窓

ドイツのゲッティンゲンにある COMSOL オフィスの窓の外を見ると, ライネ川の支流であるライネ運河が見えます. 中世に人工的に造られたこの運河は, ゲッティンゲンの歴史的な市内中心部を流れています.

ライネ運河の水は地元の醸造所の水源として利用され, いくつかの工場が水力を利用していました. COMSOL のオフィスから市の中心部を通ってライネ運河を上流にたどると, 非常に珍しい目的で使用された場所にたどり着きます. 今日のドイツ航空宇宙センターがある場所では, 現代の空気力学の父ルートヴィヒプラントルは, 100年以上前にライネ運河のさまざまな流動現象を理解するための実験を行ったと言われています.

ドイツのゲッティンゲンにある彼の水路でのルートヴィヒプラントルの白黒写真.
近代空力学の父 ルートヴィヒプラントル (1875~1953). 画像は DLR より. CC BY 3.0 DE によりライセンス供与.

1907年にプラントルによって設立された Modelversuchsanstalt für Aerodynamik der Motorluftschiff-Studiengesellschaft (現在はドイツ航空宇宙センター DLR として知られています) により, ゲッティンゲンは現代の空気力学の発祥地と見なされています. 流体力学研究のパイオニアであり, この頃からプラントルの学生であったセオドアフォンカルマンは, 1911–12年に彼にちなんで命名された渦路に関する彼の最も有名な作品の1つを発表しました. これらの渦路は, 川や小川でよく観察でき, プラントルが実験中に定期的に生成したものでもあります.

オフィスビルに戻って, そのファサードには, ガウス, リヒテンシュタイン, ネーターなど, ゲッティンゲンの偉大な科学者達による他の象徴的な作品とともに, この渦路が描かれています. もちろん, それぞれが COMSOL Multiphysics® ソフトウェアのシミュレーションプロットの形式で表示されます.

ドイツのゲッティンゲンにある COMSOL オフィスの写真. フロントウィンドウにカルマン渦路シミュレーションのデカールが貼られています.
COMSOL ゲッティンゲンオフィスとゲッティンゲンライネ運河の画像. 興味深い事実: オフィスは, ドイツ航空宇宙センターから1 km 下流にあり, 流体力学と空気力学の性質に関する最初の包括的な研究の場所です. (COMSOL のオフィスウィンドウにある渦路シミュレーションデカールを見つけることができますか? ヒント: 写真をクリックして詳細を確認してください.)

自然と技術における渦路

自然界では, 渦路は空気と水の中で起きます.

非常に明確な例は, Juan Fernández 諸島などの島々の風下にある渦の衛星画像によって提供されます. 雲によって可視化され, サイズは数キロメートルです.

海洋上のカルマン渦の衛星写真.
The Juan Fernández 諸島の風下にある渦路の衛星写真. 画像は NASA 地球観測所を通して公知.

渦路は他の惑星でも観測されています. 特に印象的で美しいのは, 木星の有名な大赤斑の風下に見られる, 数万キロメートルの大きさの渦です.

右下隅の大赤斑の周りに渦がある木星の写真.
大赤斑の左側に渦がある木星のハッブル望遠鏡の画像. NASA, ESA, A. サイモンによる公知の画像 (Goddard 宇宙飛行センター).

カルマン渦の技術的重要性は, 主に空気力学と空気音響学にあります. 渦の周期的な分離は, 渦の分離周波数がその周りを流れる物体の固有振動数に対応する場合, 構造振動につながる可能性があります.

この可聴例はエオリアンハープですが, 風がそれらの周りを流れるとき送電線からも音が出ることがあります (ただし, 不快な音で, 通常は100 Hz 前後の低いハム音です).

振動が高層ビルや煙突に影響を与えると, 振動も非常に問題になる可能性があります.

渦路の発達

カルマン渦は, 流れの慣性力が粘性力よりも大幅に大きい場合に発生します. 流体の大きな動粘度 \eta は渦を抑制しますが, より高い密度 \rho, 速度 u, およびより大きなサイズ L の流体は, より多くのダイナミクスと秩序のない流れパターンを提供します. 慣性力を増加させる要因を粘度に関連付けると, 流れの状態を特徴付けるために使用できる次の無次元の尺度が得られます. レイノルズ数:

Re=\frac{u \cdot \rho \cdot L}{\eta}

レイノルズ数は流れの状態を特徴付けます. 特に, 構成によっては臨界レイノルズ数があり, それ以下では流れは通常層流になり, それ以上では乱流になります. たとえば, パイプ内の流れの場合, Recrit = 2300 です.

円柱の周りの流れとレイノルズ数が4未満の場合, 円柱の後ろで分離は発生しません. 流れは円柱表面に完全に付着します.

約40のレイノルズ数まで, 境界層が分離し, 2つの反対方向に回転する渦が後流に形成されます (定常分離バブル).

レイノルズ数がさらに増加すると, たとえば流速が増加すると, これら2つの渦は最終的に周期的に分離するまで不安定になります (Re ~80). 切り離された渦はしばらくの間安定したままなので, ネックレスの真珠のように流れる物体の後ろに下流に並び, 摩擦によって流れの中で再びゆっくりと解離し, 最後に消えます.

レイノルズ数が1で, 線がほとんどまっすぐである場合の円柱の周りの流線の 2D イメージ.

レイノルズ数が30で, 線が少し湾曲している場合の円柱の周りの流線の 2D 画像.

レイノルズ数が100の場合の円柱の周りの流線の 2D 画像で, 線が曲がって波打っている様子.
3つの異なるレイノルズ数で左から流れが来る円柱の周りの流線. 上: Re = 1. 中央: Re = 30. 下: Re = 100.

カルマン渦路のシミュレーション

渦の美しさを自分で表現するために, 円柱の周りの空気の流れを計算するシミュレーションモデルを設定しました. カルマン渦列は, 2D と 3D の両方で層流条件で発生する現象であるため, 円の周りの流れの層流 2D モデルから始めましょう.

このようなモデルの設定は非常に簡単です. これは, 切り取られた円, 左側で時間の経過とともに増加する一定の入口速度, 流れ方向に平行な対称境界, および一定の出口圧力を持つ単なる長方形です. モデルの動粘度を下げることで, Re を200から1から500まで2段階で増やしました (これも, 時間依存の区分的補間関数を作成することで簡単に実行できます).

その結果は, 私たちが自然界ですでに観察できるものと正確に一致しており, この美しく, ほとんど催眠術のような現象に対するカルマンの魅力をすぐに理解することができました.

 

段階的に増加したレイノルズ数の円の周りの 2D 流れのモデル結果. 流れは, 渦度の大きさをプロットすることで可視化されます (黒 = 低渦度, 白 = 高渦度).

 

レイノルズ数を段階的に増加させた円の周りの 2D 流れのモデル結果. 流れは, 渦度の面外成分をプロットすることで可視化されます (赤 = 正の渦度, 青 = 負の渦度).

今回は単純な層流 2D モデルに加えて, コンピューターハードウェアの能力をフルに活用したいと考えました. そこで, 直径10 cm の円柱の 3D モデルを作成することにしました. この円柱の周りには0.5 m/s の速度で空気が流れています. これは5000を超えるレイノルズ数に相当するため, 流れは乱流です. このような場合, 流れの基礎となるナビエ・ストークス方程式は RANS 乱流モデルで解く必要があります. COMSOL Multiphysics は幅広い選択肢の範囲を提供します. しかし, ラージエディシミュレーション (LES) を使用すると, さらに正確な結果を得ることができます. アートにシミュレーションを使うなら, きちんとやった方がよいです!

数値的な観点から乱流をシミュレートすることは複雑ですが, COMSOL Multiphysics で LES 流れモデルを設定することは, 層流モデルと同じくらい簡単です. 流れを計算しているボックスの側面の境界は, 対称境界として等しく定義されています. つまり, そこでは境界層のメッシュが必要なく, 流入口に発達した流れプロファイルを与えるは必要ありません.

流入口では, 流速が単純に指定され, ステップ関数を使用して5秒以内に0から最大値0.5 m/s まで上昇します. 流出口では, 圧力が固定され, 標準の非スリップ境界条件が円柱に適用されます. 流れが通過するボックスは, 長さ1メートル, 高さ10 cm, 幅50 cm です.

今日では, 130万を超える自由度を持つシミュレーションモデルは, 私のワークステーションで一晩で求解できるタスクです. そのため, モデルの計算を開始し, 翌朝, 結果を評価することができました.

渦を見えるようにするために, ボックスの中心を通る水平切断面を作成しました Q 基準と呼ばれる確立された渦識別方法を可視化します. さらに, 円柱上の圧力分布は, 色表現によって可視化されます. 圧力は, アニメーションで見ることができる渦放出の周波数で明確に振動しています.

 

渦を識別するための Q 基準は, 円柱の周りの乱流の 3D モデルの水平切断面で可視化されます. レイノルズ数が高くなり, それに伴い乱流レベルが増加するため, 流れパターンははるかに小さいスケールになります.

さらに知りたい方へ

渦路の世界への小旅行をお楽しみいただけたでしょうか. 空気力学研究の歴史について詳しく知りたい場合はゲッティンゲンのドイツ航空宇宙センターにアクセスすることを強くお勧めします. 最初期の風洞のいくつかが見学できます. 上の画像のプラントルの水路で遊ぶこともできます.

しかし, 美しいカルマン渦のシミュレーション画像とアニメーションを自分で作成したい場合 (そして自分のワークステーションで快適に), COMSOL Multiphysics を開くだけで済みます. 計算コストのかからない方法で始めるには, アプリケーションギャラリのチュートリアルモデル円柱周り流れ をお勧めします.

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