時間的に任意に変化する電気信号をモデル化する場合, COMSOL Multiphysics® ソフトウェアの計算効率の良い電流インターフェースを使用すると, 時間依存のスタディを通して系の応答を計算することができます. いくつかの異なる励起オプションがありますが, 通常, 印加された電流信号または伝送線路に沿って移動する電圧信号のどちらかで考えたいと思います. その理由をもう少し詳しく見てみましょう.
目次
はじめに
ここでは, 以前のブログ, “RF 電磁加熱モデルに異なるフィジックスインターフェースを使用する”: で使用した例を見ていきます. 損失誘電体のサンプルで満たされた金属キャビティに挿入された同軸ケーブルを周波数領域で励起します. 同じ系を使い, 様々な種類の過渡信号を同軸に適用し, 電流フィジックスインターフェースと電磁波 (過渡)フィジックスインターフェースを, 主に材料内の全損失の計算という観点から比較します. これら2つのインターフェースを比較する理由は, 電磁波 (過渡)インターフェースはマックスウェル方程式の完全なベクトル形式を解くのに対し, 電流インターフェースはマックスウェル方程式の単純化された近似を解くためです. 磁場を無視し, スカラー電位のみを解くことによって方程式を計算します. これらの例の計算コストを削減するために, 以下の概略図に示すように, モデルは2D軸対称モデリング平面に縮小されます.
2D軸対称モデリング平面でのモデルの概略図.
電流励磁
まず, 下図に示すように, 時間的に変化する所定の電流で系を励起します. 信号の初期値はゼロで, その後最大値までステップアップし, それが維持されます. このステップ関数に平滑化を適用することも可能で, これについては後で検討します. 系は無励起状態からスタートします: 初期状態では場はどこでもゼロです. この初期状態と入力信号が与えられれば, 過渡システム応答は十分な時間後に非ゼロ定常解に近づくはずであり, これは系の直流励磁に相当します.
印加される信号は, 無次元時間1でゼロから1にステップアップするステップ関数を介して変調されます. スムージングを含めるオプションがありますが, 現在は無効になっています.
まず, 電磁波 (過渡)インターフェースを使ってモデルを構築します. このインターフェースはすべての抵抗性, 容量性, 誘導性の現象を捉えます. このインターフェースは, 以前に使用された電磁波 (周波数領域)インターフェースとは異なります. この境界条件は周波数領域でのみ意味を持つため, インピーダンス境界条件が含まれていません. 金属リードを明示的にモデル化することは可能ですが, 代わりに完全電気導体境界条件を介して, すべての金属部品を無損失の理想的な導体としてモデル化します. この場合, 金属の損失は比較的無視できることが以前に示されているため, これは正当化されます.
時間とともに変化する指定された電流パルスを持つ, タイプ同軸の集中ポート境界条件のスクリーンショット.
タイプ同軸の集中ポート境界条件を使用し, 過渡印加電流を指定します. ステップ関数の引数は, 次元化されていない単位で入力されることに注意してください. シミュレートされた合計タイムスパンは 150 ns で, 結果は 1 ns ごとに保存されます. 以下のプロットは, 集中ポート境界条件 (以下の図では TEMW と省略されている電磁波 (過渡)インターフェース内) で検出された電圧を示しています. この曲線は, 抵抗性および容量性の系から期待される典型的な応答を示しています.
電磁波 (過渡) インターフェースと電流インターフェースからの印加電流と測定電圧のプロット.
同じ状況が電流インターフェースでモデル化され, 抵抗効果と容量効果のみが考慮されます. このインターフェースでは, タイプ電流の端子境界条件により, 指定された電流が内部導体に注入されます. 外部導体と残りの外部境界はすべて接地に設定されます. 解を比較するために, ソルバーの最大時間ステップも 1 ns に設定されており, 結果は優れた一致を示しています.
電磁波 (過渡)インターフェースと電流インターフェースから計算された散逸の比較.
以下のプロットは, 両方のフィジックスインターフェースについてモデルに蓄積される熱を時間の経過とともに比較し, 一致していることを示しています. また, 以下の構文を持つ timeint() 演算子を使って, 時間経過に伴う積分損失を計算することもできます.
timeint(0,150e-9, intopSample(ec.Qh), 'nointerp'),
ここでは, 追加された ‘nointerp’ オプションは, 保存された時間ステップのみを使用して体積上の積分の時間積分を評価し, 両方のインターフェースは, 1 ％ 未満の差で, この0– 150ナノ秒のタイムスパンにわたって 46.8 nJ の堆積エネルギーの合計を計算します (差は1 % 未満). このデータから, この電流信号で励起されるシステムの場合, 電流インターフェースは電磁波 (過渡)インターフェースとほぼ同じ結果を, より低い計算コストで得られることがわかります.
電流インターフェースによる電圧励起
次に, 同じステップ関数を使いますが, 代わりに電流インターフェース内の端子電圧を変調してみましょう. つまり, 同軸ケーブルの内部導体と外部導体間の印加電圧を瞬時に変化させてみるのです. このようなモデルは, 解いてみることはできますが, ソルバーが失敗してしまいます. 容量性デバイスは電圧の瞬間的な変化に抵抗するので, これは驚くことではありません. つまり, 電圧へのステップ入力は非物理的だと言えます.
このような非物理的な励起を求解しようとする代わりに, ステップ機能に戻り, スムージングを有効にすることができます. この変更により, ナレッジベースの “時間依存ソルバーの時間ステップの制御” で解説したように, 5ナノ秒という短いタイムスパンでモデルを解き, 0.01ナノ秒ごとに結果を保存し, ソルバーの相対的な許容誤差を1e-5に縮めることができます.
スムージングされたステップ関数で電圧を指定した場合の計算電流.
この図は, 印加電圧と端子に流れる電流を示しています. 印加電圧が上昇するにつれて, 電流が定常状態の10倍以上に上昇していることにご注目ください. これを理解するには, 電流インターフェース内で定義されている電流の式を調べます.
これは伝導電流と変位電流の和であり, 電場は \mathbf{E}(t) = -\nabla V(t) から計算されます. したがって, 時間の関数としての電位が境界で指定されると, モデルへの伝導電流と変位電流の両方が指定されることになり, 非物理的になるのです. これは, 前述の印加電流の場合とは対照的で, 全電流のみが指定され, モデルはその全電流のうち何パーセントが変位電流なのか伝導電流なのかを計算します.
また, 電磁波 (過渡)インターフェースに類似の境界条件を適用することが可能かどうかも問う必要があります. これは不可能です. このインターフェースは磁気ベクトルポテンシャル定式化を使用しており, このような励起条件は許容されません. 数値的手法で可能であったとしても, このような励起は一種のフィードバック制御の問題を意味するため, 物理的には妥当ではありません.
時間領域の電流インターフェースで電圧励起を使用することは依然として有効ではありますが, それは端子境界での結果として生じる変位電流が伝導電流よりも相対的にはるかに小さい特定の場合に限られます. つまり, デバイスがほぼ純粋に抵抗性である場合にのみ, 電圧境界条件を使用します. しかし, 今回取り上げるケースでは, より現実的な境界条件に注目する必要があります.
伝送路, 集中ポート, 端子条件
電磁波 (過渡)インターフェース内の集中ポート境界条件をもう一度見てみましょう. 電流タイプについてはすでに説明しており, 回路タイプについては後ほど解説しますので, ここではケーブルタイプに焦点を当てたいと思います. ケーブルオプションを使用すると, 電圧信号とケーブルインピーダンスを定義することができます. これにより, 例えば Z_0 = 50 \Omega のような, 指定されたインピーダンスを持つ無限の無損失伝送線路と, その無限ケーブルに沿って配置されたソースいう条件が成立します. このソースは, 信号がソースから離れた伝送線路に沿って両方向に伝搬し, 検出された電圧が定義された信号に等しくなるような電流を流します. 信号は両方向に伝搬するため, この電流の大きさは 2V(t)/Z_0 になります.
これは, 指定された電圧信号 V(t) と指定されたケーブルインピーダンスに基づいており, 系のインピーダンスがケーブルインピーダンスに一致すると仮定しています. 実際には, ケーブルインピーダンスは系のインピーダンスの Z_s とは異なるため, 信号はシステムモデルによって部分的に反射され, 伝送路に戻ります. したがって, 入力信号はこの境界で電圧として入力されますが, 実際には固定電流とケーブルインピーダンスに等しい並列負荷がかかります. 電流源から来る信号は, ケーブルと系に分割され, その信号の一部が反射して戻ってくると考えることができます. ほとんどの実際のソースでは, 反射された信号が電流源と相互作用するのを防ぎ, 反射された信号を整合された散逸負荷に振り向けるサーキュレーターやアイソレーターのようなものがあるはずです.
ケーブルタイプの集中ポート境界条件の等価回路解釈. 上の図は, 想定されるケースを示しています. 信号は電流源からインピーダンスが整合されたケーブルと系に伝搬しています. 電流源はケーブル内にあるため, 信号は両方向に伝搬します. 下図はモデル化されたケースを示しています. 系のインピーダンスの不整合により, 信号の一部が反射してケーブルに戻っています.
電流インターフェース内の類似の境界条件は, 終端タイプの端子条件です. ここでは, 同様にケーブルのインピーダンスを入力できますが, 代わりに電圧ではなく電力 \frac{1}{2}V(t)^2/Z_0 を適用する必要があります.
このモデルは, 両方のフィジックスに対して, より細かい出力時間ステップとトレランスを使用して解くことができます. 結果は, 以下に示すように, 電圧と電流の測定値, および損失と経時的な積分損失で評価することができます. これについては, 特筆すべき特徴がいくつかあります:
- 電磁波 (過渡)インターフェースから検出された電圧と電流は, 信号にリップル (波) を示しています. これは想定内です. これらのリップルは, 入力信号の周波数内容に起因し, また, システムモデルの材料, 境界条件, およびジオメトリからの信号の反射によって発生します.
- 検出電圧は印加電圧のほぼ2倍です. これは, この境界条件が電圧源のノートン等価と考えることもできます. ここでは, ノートン抵抗はケーブルインピーダンスに等しく, ケーブルインピーダンスはモデル化されるシステムの抵抗に比べて比較的小さくなります.
- 電流インターフェースからの解は, このインターフェースが誘導効果を明示的に無視しているため, リップルはありません. しかし, 全体的な形状は非常に似ており, 同じ定常解がえられます.
- 損失はよく一致し, 投入エネルギーは1 ％ 以内で一致しています.
したがって, 電流インターフェースは, この系と励起タイプに対して, 完全な電磁波 (過渡)インターフェースの非常に良い近似であると結論づけることができます.
伝送線路に沿って伝搬するスムージングステップ電圧信号をモデル化した場合の電測定電圧と測定電流のプロット.
スムージングステップ電圧信号が印加された場合の, 計算損失とサンプル材料の比較.
電気回路の接続
前の図の回路図を見ると, ケーブルタイプの集中ポートが, 系に接続された抵抗を表しているように見えます. この解釈は, 代わりに回路タイプの集中ポートを使用し, 電気回路インターフェースを介して系に並列に集中電流源と集中抵抗器を追加することで確認することができます. これらのフィジックスインターフェースを接続するアプローチは, ブログ “電流をモデル化するための励起オプションを理解する” で紹介したものと似ています. この同じ励起は, 回路タイプの条件を介して電気回路インターフェースに電流インターフェースを接続することで再現できます.
コンデンサー, インダクター, トランスを含む, より複雑な整合回路を電気回路インターフェースに実装することもできます. あらゆる非物理的な励起を防ぐために追加要素が回路に加えられている限り, 電気回路インターフェース内で電圧源機能を使用することは合理的です. 非線形集中デバイス, ダイオードやトランジスターを含めることもできますが, これらの場合, 一連の方程式を解くのに計算量が多くなり, ソルバー設定のさらなる変更が必要になる場合があります.
投入電力について
この系の周波数領域励起に関するブログを振り返ると, 私たちは系に既知の電力を入力させる励起も実装しました. この種類の励起はフィードバックに基づくもので, モデルの状態を監視し, 入力に情報をフィードバックします. このようなフィードバックは, 周波数領域モデルにおいて, フィードバックが数サイクルにわたって起こるという暗黙の仮定のもと, 合理的であると言えます. 時間領域モデルでは, フィードバックに制御系のダイナミクスと遅延も含める必要があるため, 適していないと言えるでしょう. このような時間領域フィードバックは, ここで見てきたような系と時間スパンには適していません.
おわりに
ここでは, 電流インターフェースと電磁波 (過渡)インターフェースの両方において, 時間領域信号で系を励起する様々な方法を見てきました. この2つのインターフェースは, 特定の系と信号に対して, 非常によく似た結果を出しました. 電流インターフェースは, 励起された系の電気エネルギーが磁気エネルギーよりはるかに大きい場合に適切です. 系が主に誘導性で, 磁場が電場よりはるかに大きい場合の逆のケースについては, 今後のブログで別に取り上げる予定です.
すべての励起は, 基本的にシステムモデルに流れる電流を指定するものであることがわかりました. 伝送線路に沿って伝搬する電圧信号の場合は, 単純にノートン等価であり, つまり, システムモデルに平行な伝送線路を表す外部抵抗を持つ電流源です. 最終的に, 電流源を表すこれらの励起オプション, 伝送線路に沿って伝搬する電圧信号, または電気回路インターフェースを追加することのいずれを選択するかは, 扱うソースの種類に依存します.
こちらのブログで見てきた信号は非常に単純なものでしたが, より複雑な過渡信号, 特に周期的な信号を考慮する必要があることも多いです. このような信号に適している, 非常に効率的なモデリング手法があります. それらについては次のブログで取り上げる予定ですので, お楽しみに!
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